Hola
¡Buen día!
Disculpen, me he perdido al estar revisando mis notas del curso, quisiera que por favor me ayuden a completar los detalles con la siguiente demostración:
Sean F, G álgebras de subconjuntos (no vacíos) de X e Y respectivamente. Sean (X, F) y (Y,G) dos espacios medibles de álgebras. Definimos un rectángulo en el producto \( H:=\{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}: A_j\in{F}\;y\; B_j\in{G}\; , n\in{\mathbb{N}}\} \). Lo que se quiere demostrar es que explícitamente puede escribirse todo elemento de H como unión finita ajena.
Para ello consideramos lo que les muestro a continuación:
Consideramos el conjunto de todas las n-tuplas \( p=(p_1,\ldots , p_n) \) con \( p_j\in{\{0,1\}}\;\;j=1,\ldots , n \) el cual tiene \( 2^n \) elementos. Luego escribimos:
\( A^{(p)}:=\cap_{p_j=1}{A_j \setminus \cup_{p_j=0}{A_j}} \)
Te puede ser útil notar que esa definición equivale a:
\( A^{(p)}:=\bigcap_{p_j=1}A_j \cap \bigcap_{p_j=0}{A_j^c} \)
donde \( A_j^c \) denota el complementario.
*Se tiene que: \( A^{(p)}\cap{A^{(p')}}=\emptyset\;si \; p\neq{p'} \) *
Si \( p\neq p' \) para algún \( j \), \( p_j\neq p'_j \). Supongamos sin pérdida de generalidad \( p_j=1 \) y \( p'_j=0 \).
Entonces de la definición dada, \( A^{(p)}\subset A_j \), pero \( A^{(p')}\subset A_j^c \) y por tanto son disjuntos.
Luego \( A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{A^{(p')}\times B^{(q')}}=\emptyset si \; p\neq{p'}\; o \; q\neq{q'} \).
Para cualquier \( x\in{X} \) se define \( p_j(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }& x\in{A_j}\\0 & \text{si}& x\not\in{{A_j}}\end{cases} \) para \( p=1, \ldots, n \) y \( p(x):=(p_1(x),\ldots , p_n(x)) \) entonces por definición de \( A^{(p)} \), \( x\in{A^{(p(x))}} \) y similarmente \( y\in{B^{(q(y))}} \) para \( y\in{Y} \) con \( \color{red}p_j\color{black}(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }& y\in{B_k}\\0 & \text{si}& y\not\in{{B_k}}\end{cases} \) para \( k=1, \ldots, n \)
Ahí tienes una errata. Lo que he marcado en rojo debería de ser \( q \) en lugar de \( p \).
Falta además decir en algún sitio que:
\( X=\displaystyle\bigcup A_j \) e \( Y=\displaystyle\bigcup B_j \)
*Por ello \( \cup_{(p,q)}{A^{(p)} \times B^{(q)}}=X\times Y\; \) *
Esto lo tienes probado aquí:
*cuando \( (x',y')\in{X\times Y} \; sucede \;que (x',y')\in{A^{(p)} \times B^{(q)}}\Leftrightarrow{p(x')=p \;\;y \;\; p(y')=q}\Rightarrow{(x',y')\in {\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}\; \) *
Es consecuencia directa de la definición de \( p(x') \) y \( q(x') \). Piénsalo y si sigues sin entenderlo vuelve a preguntar, intentado detatallar más la duda.
Luego, para todos los (p,q) se tiene:
* \( A^{(p)} \times B^{(q)}\subset{\cup_1^n{(A_j \times B_j)}}\; \) ó
\( A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}=\emptyset\; \) *
Eso también es consecuencia directa de esto:
porque si \( (x,y)\in{A^{(p)} \times B^{(q)}} \) y \( (x,y)\in{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}} \), se tiene que existe \( j_0 \) tal que \( p_{j_0}(x)=1=q_{j_0}(y) \)
en esencia, por construcción los rectángulos \( A^{(p)}\times B^{(q)} \) o están contenidos complemtamente en algún \( A_j\times B_j \) o están fuera de él.
Escribimos \( S:=\{(p,q):A^{(p)} \times B^{(q)}\subset{\cup_1^n{(A_j \times B_j)}}\} \) y \( S':=\{(p,q):A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}=\emptyset\;\} \)
*Entonces \( \cup_1^n{(A_j \times B_j)}=\cup_{(p,q)\in{S}}{A^{(p)} \times B^{(q)}} \) *
Por que sabemos que la únión de todos los rectángulos \( A^{(p)}\times B^{(q)} \) es todo \( X\times Y \)que contiene a \( \cup_1^n(A_j \times B_j) \). De esa excluimo sólo con los rectángulos de S' cua intersección con \( \cup_1^n(A_j \times B_j) \) es vacía.
Saludos.
P.D. Añado un ejemplo que te puede ayudar a entender mejor la construcción. En el dibujo aparecen tres rectángulos \( A_1\times B_1,A_2\times B_2,A_3\times B_3 \).
A partir de ellos se construye la cuadrícula en gris, los rectángulos \( A^{(p)}\times B^{(q)} \). Por ejemplo:
- El rectángulo naranja sería el el \( A^{(0,0,1)}\times B^{(1,1,1)} \).
- El rectángulo verde sería el \( A^{(1,1,0)}\times B^{(1,1,0)} \)
- El rectángulo azul sería el \( A^{(0,0,0)}\times B^{(0,1,1)} \)
