Autor Tema: Las tres alturas

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Noviembre, 2016, 06:23 pm
Leído 1027 veces

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 6,012
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Demostrar que las alturas de un triángulo son las bisectrices de los ángulos del triángulo que tiene por vértices los pies de las alturas.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

11 Noviembre, 2016, 07:58 pm
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
  • Mensajes: 5,869
  • País: br
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

 Anoto mi solución bajo el siguiente spoiler.

Spoiler
Consideremos la siguiente figura


Tenemos que \( m\angle BAR=m\angle BCQ=90^{\circ}-m\angle ABC. \) Además los cuadriláteros \( PHRC \) y \( PHQA \) son inscriptibles (la suma de las medidas de sus ángulos opuestos es \( 180^{\circ} \)). Esto implica que \( m\angle BCQ=m\angle RPH \) y \( m\angle BAR=m\angle QPH. \) Por tanto \( m\angle QPH=m\angle RPH=90^{\circ}-m\angle ABC. \)

 Cuando el triángulo es obtusángulo se sigue la misma idea.
[cerrar]

Saludos,

Enrique.

18 Noviembre, 2016, 04:56 pm
Respuesta #2

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 6,012
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,

Me permito completar la figura.

Comp aplicación de este teorema, propongo el siguientes:

Construir un triángulo conociendo los pies de las tres alturas.

Saludos.

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

22 Noviembre, 2016, 05:07 pm
Respuesta #3

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 6,012
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
En la respuesta #1 ha demostrado enrique que las alturas de un triángulo son las bisectrices del triángulo cuyos vértices son los pies de aquellas (triángulo órtico).

Por tanto, el ortocentro de un triángulo es el incentro de su triángulo órtico.

Entonces, si tenemos que construir un triángulo conociendo los pies de sus alturas, procederemos así:

Sean A', B', C' los pies de las alturas dados, que son los vértices del triángulo órtico del triángulo ABC pedido; las bisectrices de A'B'C' se cortan en P, que es el incentro del A'B`C' y el ortocentro del ABC.

La construcción será la siguiente:

Se trazan por A', B' y C' las perpendiculares a AA', BB' y CC', respectivamente; estas rectas se cortan dos a dos determinando los vértices A, B y C del triángulo pedido.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker