Autor Tema: Subgrupos normales

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

01 Noviembre, 2016, 06:33 pm
Leído 2025 veces

mapa

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 458
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
¡Buen día!

Tengo el siguiente ejercicio: Sean H y N subgrupos de un grupo G tales que N es normal en G, \( \left |{N}\right | <\infty \),  \( [G:H]<\infty \) y  \( ([G:H], \left |{N}\right |)=1 \). Probar que N es subgrupo de H.

Observo que como N y H ya son subgrupos de G entonces para demostrar que N es subgrupo de H, bastaría probar que \( N\subseteq{H} \).

¿Alguna sugerencia que me puedan dar para comenzar la prueba?

01 Noviembre, 2016, 07:03 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,558
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

¡Buen día!

Tengo el siguiente ejercicio: Sean H y N subgrupos de un grupo G tales que N es normal en G, \( \left |{N}\right | <\infty \),  \( [G:H]<\infty \) y  \( ([G:H], \left |{N}\right |)=1 \). Probar que N es subgrupo de H.

Observo que como N y H ya son subgrupos de G entonces para demostrar que N es subgrupo de H, bastaría probar que \( N\subseteq{H} \).

¿Alguna sugerencia que me puedan dar para comenzar la prueba?

Considera el subgrupo \( HN \) (es subgrupo por ser \( N \) normal).

Tienes que:

\( [G:H]=[G:HN][HN:H] \)

y \( [HN:H] \) es un divisor de \( |N| \).

Termina...

Saludos.

02 Noviembre, 2016, 01:27 am
Respuesta #2

mapa

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 458
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Disculpa, tengo una duda, pues  no comprendo por qué \( [HN:H] \)es un divisor de \( |N| \). Me podrías aclarar esa parte por favor?

Luego de lo que me indicas sí veo cómo concluir.
Muchas gracias!

02 Noviembre, 2016, 03:23 am
Respuesta #3

EnRlquE

  • Lathi
  • Mensajes: 5,866
  • País: br
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola mapa.

 Sucede que \( [HN:H]=[N:H\cap N]. \) Para probarlo observa que cada clase a derecha \( H(hn) \) en \( HN \) se corresponde con la clase a derecha \( H\cap Nn \) en \( N \) y viceversa. De hecho \( H(hn)\cap N=H\cap Nn. \)

Saludos,

Enrique.

P.S. Estoy suponiendo que \( h\in H \) y \( n\in N. \)

03 Noviembre, 2016, 04:49 am
Respuesta #4

mapa

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 458
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Les agradezco!