Autor Tema: Longitud de la unión numerable de intervalos es infinita.

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01 Noviembre, 2016, 06:20 pm
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mapa

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¡Buen día!
Debo demostrar que si el conjunto \( (a,\infty) \) es la unión de una familia numerable de intervalos \( (a_n, b_n) \) entonces \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\ell ((a_n, b_n])}=+\infty \).

Lo único que se me ocurrió fue que debería haber un intervalo de la forma \( (a_k, \infty) \) (o sea con longitud infinita) y por ello entonces la suma de las longitudes será infinita; pero no me parece que esto realmente sea un avance.  :-\  No sé cómo debería probarlo de manera formal ¿Me podrían ayudar por favor?

01 Noviembre, 2016, 07:53 pm
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola mapa.

 No estoy seguro de lo que puedas usar, pero si tu pregunta está en el marco de un curso de teoría de la medida, podrías usar que si tenemos \( A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}, \) entonces \( \ell(A)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\ell(A_{n}) \). En nuestro caso se usaría con \( A=(a,+\infty) \) y \( A_{n}=(a_{n},b_{n}]. \)

Saludos,

Enrique.

01 Noviembre, 2016, 11:00 pm
Respuesta #2

Tanius

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Sin "definir medida", un camino directo sería el siguiente:

Prueba que para todo \( M>a \), si una familia numerable de intervalos acotados \( I_n \) cubre a \( (a,M) \) entonces \( \displaystyle\sum \ell(I_n)\ge M-a \). Esto lo puedes ver por ejemplo aquí
http://planetmath.org/proofthattheouterlebesguemeasureofanintervalisitslength

Luego, el resultado se sigue de observar que \( (a,\infty) \) contiene a todos los intervalos de la forma \( (a,M) \).

Lo único que se me ocurrió fue que debería haber un intervalo de la forma \( (a_k, \infty) \) (o sea con longitud infinita) y por ello entonces la suma de las longitudes será infinita; pero no me parece que esto realmente sea un avance.  :-\  No sé cómo debería probarlo de manera formal ¿Me podrían ayudar por favor?

Esto es falso. Trata de encontrar un ejemplo.

02 Noviembre, 2016, 01:00 am
Respuesta #3

mapa

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Agradezco sus respuestas!
Ya noté que Tanius tiene razón sobre que lo que mencioné en un principio es falso.