Autor Tema: Sucesión exacta

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31 Octubre, 2016, 02:46 am
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serpa

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Hola. Vi esto en una prueba pero no logro ver el por qué

Considere la sucesión exacta

\( \ldots\rightarrow{H_2(S^1\vee S^1)}\rightarrow{H_2(S^1\times{S^1})}\rightarrow{H_2(S^1\times S^1, S^1 \vee S^1)}\rightarrow{H_1(S^1 \vee S^1)}\rightarrow{H_1(S^1 \times S^1)}\rightarrow{\ldots} \)

Sabemos que \( H_1(S^1 \times S^1)= \pi_1(S^1 \times S^1)=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}  \).

La parte que no entiendo es

Aplicando la sucesión de Mayer-Vietoris obtenemos que

\( H_2(S^1\vee S^1)=0  \) y \(  H_1(S^1\vee S^1)=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \).

Alguna ayuda?

31 Octubre, 2016, 11:57 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Aplicando la sucesión de Mayer-Vietoris obtenemos que

\( H_2(S^1\vee S^1)=0  \) y \(  H_1(S^1\vee S^1)=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \).

Supongo que se refiere a aplicar Mayer- Vietoris para \( X=S^1\vee S^1 \), \( A=S^1\vee S^1-\{un\quad punto\} \), \( B=S^1-\{un\quad punto\}\vee S^1 \).

Claramente \( A  \)y \( B \) se contraen a una circunferencia y así \( H_1(A)=H_1(B)=\mathbb{Z} \). Además \( A\cap B \) se contrae a un punto y así \( H_1(A\cap B)=0. \)

En la sucesión exacta:

\( 0\rightarrow H_2(A\cap B)\rightarrow H_2(A)\oplus H_2(B)\rightarrow H_2(X)
\rightarrow H_1(A\cap B)\rightarrow H_1(A)\oplus H_1(B)\rightarrow H_1(X)\rightarrow
H_0(A\cap B)\rightarrow H_0(A)\oplus H_0(B)\rightarrow H_0(X)\rightarrow 0 \)

de \( H_1(A\cap B)=0 \) y  \( H_0(A\cap B)\rightarrow H_0(A)\oplus H_0(B) \) inyectiva se obtiene que \( H_1(A)\oplus H_1(B) \) es isomorfo a \( H_1(X) \).

Saludos.

31 Octubre, 2016, 03:20 pm
Respuesta #2

serpa

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Muchas gracias por tu ayuda elmanco.


Saludos.