Autor Tema: Punto fijo de Brouwer

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29 Octubre, 2016, 06:17 pm
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serpa

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brower  Brower
hatcher Hatcher

Hola. ¿Alguna sugerencia para el siguiente ejercicio del Hatcher?
Demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer para funciones \( f:D^n\longrightarrow{D^n} \) aplicando la teoría del grado a la función \( S^n\longrightarrow{S^n} \) que envía el hemisferio norte y sur de \( S^n \) hasta el hemisferio sur vía f.



Saludos.

29 Octubre, 2016, 09:22 pm
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola serpa.

 Una forma es la siguiente. Dada una aplicación continua \( g:S^{n}\to S^{n} \) ten presente estos dos hechos (que si no los sabes, sería bueno que trates de probarlos): (1) Si \( g \) no es sobreyectiva, entonces \( \text{deg}(g)=0. \) Y (2) Si \( g \) no tiene puntos fijos, entonces \( \text{deg}(g)=(-1)^{n+1} \) (en particular, su grado es diferente de cero).

 Ahora supongamos que \( F:S^{n}\to S^{n} \) sea la aplicación inducida por \( f:D^{n}\to D^{n} \) como se describe en el problema. Trata de verificar que \( F \) es continua. Finalmente nota que si suponemos que \( f \) no tiene puntos fijos, entonces \( F \) tampoco tiene puntos fijos; sin embargo \( F \) no es sobreyectiva, por tanto ... (usa (1) y (2) para llegar a una contradicción y poder concluir).

 Completa los detalles y si tienes dificultades, pregunta.

Saludos,

Enrique.

29 Octubre, 2016, 11:41 pm
Respuesta #2

serpa

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Hola Enrique. Gracias por responder y disculpa por no ser más preciso en lo que pido. Justamente mi duda es esa, cómo veo la función F inducida por f ?
 Eso es lo que realmente se me dificulta  ???

30 Octubre, 2016, 12:06 am
Respuesta #3

EnRlquE

  • Lathi
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Hola serpa.

 Entiendo. Nota que si \( x=(x_{1},\dots,x_{n+1})\in S, \) entonces \( \bar{x}=(x_{1},\dots,x_{n})\in D^{n}. \) Luego definimos \( F:S^{n}\to S^{n} \) por \( F(x)=\big(f(\bar{x}),-\sqrt{1-\|f(\bar{x})\|}\big). \)

interpretación geométrica
Para tener una idea geométrica de esta definición podemos hacer la identificación \( D^{n}\simeq\{x=(x_{1}, \dots,x_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1}:\|x\|\leq1\;\wedge\;x_{n+1}=0\}; \) de modo que al sumergir \( D^{n} \) en \( \mathbb{R}^{n+1} \) podemos interactuar mejor con \( S^{n}\subset\mathbb{R}^{n+1}. \)

 Con esta identificación lo que estamos haciendo es primero proyectar \( x\in S^{n} \) en el plano \( x_{n+1}=0. \) Luego aplicamos \( f \) a esta proyección (pues la proyección de \( x \) pertenece a \( D^{n} \)) y al punto que obtenemos lo proyectamos al polo sur de \( S^{n}. \) Este último punto es \( F(x) \). Trata de hacer un dibujo del caso de \( n=2 \) para que lo tengas un poco más claro.
[cerrar]

Saludos,

Enrique.

30 Octubre, 2016, 04:12 pm
Respuesta #4

serpa

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Muchísimas gracias Enrique. Ya está todo claro.