Autor Tema: Exincentros

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28 Octubre, 2016, 10:27 am
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Michel

  • Lathi
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Sean Oa, Ob, Oc los excentros del triángulo AB.
Demostrar que los puntos A, B y C son los pies de las alturas del triángulo OaObOc.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

29 Octubre, 2016, 11:43 pm
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola.

 Dejo una pista bajo el spoiler, ojalá alguien se anime a completar la prueba.

Spoiler
Al trazar las bisectrices exteriores de uno de los ángulos del triángulo \( ABC \) y la bisectriz interior de ese mismo ángulo, observar la siguiente figura


Además notar que la bisectriz interior de un ángulo pasa por el excentro correspondiente al lado opuesto del ángulo.
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Saludos,

Enrique.

30 Octubre, 2016, 04:10 pm
Respuesta #2

ingmarov

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Hola

Una solución sin ver la pista

Spoiler
Tomemos el vértice A del triángulo ABC.
Sabemos que cada vértice de un triángulo tiene dos ángulos externos iguales, la medida de cada uno es la suma de los ángulos internos opuestos. Además el excentro es la intersección de un bisectriz de un ángulo interno y dos bisectrices de ángulos externos.
Las bisectrices de los ángulos externos en A parten a cada uno en dos, por la igualdad de ellos la suma de estos dos medios nos da igual a la suma de los ángulos internos en B y C, sumando el interno en A nos da 180 grados, por esto sabemos que las bisectrices de los ángulos externos de un triángulo en un vértice es una linea (única). Entonces esta bisectriz será uno de los lados del triángulo OaObOc.

Ahora el ángulo que forman la bisectriz del ángulo interno en A y la bisectriz de los ángulos externos es de 90, es fácil verlo por la igualdad de ángulos. Como la bisectriz interna en A pasa por el vértice Oa del triángulo OaObOc, podemos decir que A es un pie de la altura.
[cerrar]

Saludos

Luego de ver la pista veo que es la misma idea. El dibujo de EnRique servirá muy bien.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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