Autor Tema: Triángulos y cuadrilátero

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29 Octubre, 2016, 04:49 am
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0_kool

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Triangulos  y Cuadrilatero  Triángulos  y Cuadrilátero

La puse aquí, si va en otro lado me avisan ..gracias.


29 Octubre, 2016, 06:43 am
Respuesta #1

sugata

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Date cuenta que si dos lados son perpendiculares en un triángulo, el triángulo es rectángulo y podemos tomar base y altura los catetos.
Como

\( A=\displaystyle\frac{b\times{}h}{2} \)

Es el área de un triángulo y conocemos un lado. Conocemos la proporción del otro triángulo así que podemos montar una ecuación sabiendo el área de la suma.

29 Octubre, 2016, 01:50 pm
Respuesta #2

feriva

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Hay algo que no sé cómo interpretar pero pongo esto:

Spoiler



Si ves el dibujo, el cuadrilátero tiene la misma área que el rectángulo EMCD, porque podemos recortar y llevar el triángulo marrón de la derecha al hueco que está marcado con rayas a la izquierda.

Así vemos que el área del cuadrilátero es equivalente a la de cuatro triángulos rectángulos AMC. Es deir, el área de uno de esos triángulos rectángulos (que son todos iguales) es \( 84/4=21
  \).

Sabemos que el área es base (b) por altura (a) partido de 2 y sabemos que la hipotenusa, AC, vale 12.

Entonces

\( b\cdot a=2\cdot21=42\Rightarrow b=\dfrac{42}{a}
  \)

y por Pitágoras

\( \dfrac{42^{2}}{a^{2}}+a^{2}=12^{2}\Rightarrow42^{2}=144a^{2}-a^{4}
  \)

de donde te sale una bicuadrada; haces \( a^{2}=x
  \) y tienes una ecuación de segundo grado donde los valores positivos de “a”, las raíces positivas, son 11,42 y 3,67 (aproximando a dos decimales y si no me he equivocado)

y “b” puede valer entonces \( \dfrac{42}{11,42}=3,67
  \) ó \( \dfrac{42}{3,67}=11,42
  \).

El perímetro pedido del cuadrilátero se forma suamando cuatro segmentos “b” y dos segmentos BC (BC=AC) el perímetro puede ser entonces 38,68 con b=3,57; ó 69,68 con b=11,42.

Lo de la razón 9:5 entre las áreas de los triángulos, que dice, tengo que confesar con vergüenza que no lo entiendo; por más que miro, las áreas son iguales dados los ángulos, que obligan a que el cuadrilátero que se forma sea de lados iguales dos a dos, es un paralelogramo, por tanto la razón entre su áreas sería 1.

Pero si tomamos la razón entre los lados AB y AC, el valor para “b” que más se ajusta a 9:5 es 11,42; y, si fuera eso, el perímetro pedido sería 69,68.

[cerrar]

Saludos.

29 Octubre, 2016, 06:18 pm
Respuesta #3

0_kool

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Gracias por tratar,son la razones que no sé donde ponerlas en el desarrollo

29 Octubre, 2016, 06:43 pm
Respuesta #4

EnRlquE

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Hola 0_kool.

 Para ambos triángulos podemos considerar la altura \( \overline{AC} \). Entonces como las áreas de los triángulos están en relación de \( 9 \) a \( 5 \) (supongamos respectivamente, pero no es importante) trata de deducir que \( \frac{AD}{BC}=\frac{9}{5}. \) Además el área del cuadrilátero es igual al suma de las áreas de los dos triángulos y esta área es \( 84, \) entonces

\( \displaystyle\frac{(AD)\times 12}{2}+\frac{(BC)\times 12}{2}=84. \)

 De esto se deduce que \( AD+BC=14. \) En resumen tenemos que \( AD+BC=14 \) y \( \frac{AD}{BC}=\frac{9}{5} \), a partir de aquí intenta deducir el valor de \( AD \) y \( BC \) y luego calcula el perímetro pedido.

 Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.

30 Octubre, 2016, 05:16 pm
Respuesta #5

Michel

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Me permito haver algunas aclaraciones.

En primer lugar, puede inducir a error considerar (por lo menos dibujar) que el cuadrilátero es un paralelogramo; no puede serlo porque entonces las áreas de de los dos triángulos serían iguales y no estarían en la razón 8/5.

Como los dos triángulos son rectángulos, los lados AD y BC son paralelos, por lo que se trata de un trapecio.

Por otra parte, como los dos triángulos tienen la misma base (AC) la razón de sus áreas es igual a la razón de las altueas, esto es, AD/BC/=9/5.

Espero que sirva de algo.

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

30 Octubre, 2016, 06:35 pm
Respuesta #6

feriva

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Como los dos triángulos son rectángulos, los lados AD y BC son paralelos, por lo que se trata de un trapecio.



Ya lo veo, claro, estoy empeñado en que sea como el dibujo, pero no tiene por qué ser así, gracias.


Hola, Michel. No lo veo, como DA es perpendicular a AC y BC lo es a CA eso obliga a que los ángulos opuestos a los de 90º sean iguales. A mí, dibujando no me sale, sigo sin entenderlo, los ángulos opuestos no serían iguales si no fuera un paralelogramo; en cuanto dibujo un lado no paralelo se desigualan.



Ya lo veo, claro, estoy empeñado en que sea como el dibujo, pero no tiene por qué ser así, gracias.


Saludos.

30 Octubre, 2016, 07:00 pm
Respuesta #7

sugata

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Date cuenta que si dos lados son perpendiculares en un triángulo, el triángulo es rectángulo y podemos tomar base y altura los catetos.
Como

\( A=\displaystyle\frac{b\times{}h}{2} \)

Es el área de un triángulo y conocemos un lado. Conocemos la proporción del otro triángulo así que podemos montar una ecuación sabiendo el área de la suma.


Siguiendo con mi línea, tenemos el área de un triángulo y un lado.
AC es base de ambos triángulos.
El área del triangulo ACD es.
\( A=\displaystyle\frac{b\times{}12}{2} \)
Como conocemos la suma de los dos triángulos y la proporción ya podríamos sacar un lado y podemos seguir por proporciones.

30 Octubre, 2016, 09:05 pm
Respuesta #8

0_kool

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justamente esa era el punto , que no me dejaba avanzar , pues habla de cuadrilatero todo el rato no de paralelogramo
como continuas  sugata...


30 Octubre, 2016, 09:11 pm
Respuesta #9

sugata

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Tenemos el área de un triángulo que es:

\( A=\displaystyle\frac{12\cdot{b}}{2} \)
Como tenemos el Área de la suma de los dos triángulos:

\( 84=\displaystyle\frac{12\cdot{b}}{2}+\displaystyle\frac{9}{5}  \displaystyle\frac{12\cdot{b}}{2} \)

De ahí sacamos un lado que nos falta y por pitágoras todos los demás.

30 Octubre, 2016, 10:33 pm
Respuesta #10

feriva

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Gracias por tratar,son la razones que no sé donde ponerlas en el desarrollo


Hola. Como ya has visto toda la dificultad estaba en el dibujo (dificultad para un despistado como yo) el problema es sencillo:

Por lo que ya han explicado (si no entiendes alguna operación o razonamiento pregunta, pero creo que es claro) tenemos que \( AD=9 \) y \( BC=5 \); no es muy difícil ver que suman 14 y, por tanto, siendo la proporción de sus áreas 9/5 no pueden valer otra cosa, porque tienen un lado común que se cancela en la división.

Por otra parte, el área de un triángulo es digamos K (el grande, aunque no se vea quién es el grande) y el otro más pequeño es \( \dfrac{5}{9}K
  \), tal que \( K(1+\dfrac{5}{9})=84
  \) y de ahí te sale K=54. Por tanto el área del otro es 30.

Y ya... es Pitágoras, como dice Sugata.

Saludos.

31 Octubre, 2016, 11:59 am
Respuesta #11

Michel

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Como las áreas de los triángulos son proporcionales a 9 y 5, será (ABC)=54 y (ACD)=30.

Conociendo lel área de cada triángulo y la base 13, se hallan las alturas, que son los lados AD y BC; resulta AD=P, BC=5.

Por Pitágoras se hallan  CD=15 y AB=13.

El perímetro valdrá  42 s.e.u.o.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker