Autor Tema: M punto medio de AB

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16 Octubre, 2016, 04:47 pm
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Michel

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En un triángulo ABC, M es el punto medio del lado AB.
Demostrar que CM=AB/2 si y solo si áng ACB=90º.


Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

16 Octubre, 2016, 05:22 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.
Si trazamos una circunferencia con centro en \( M \) y diámetro \( \overline{AB} \) , comprobamos que sólo si el vértice C esta en un

punto de la circunferencia \( |\overline{CM}|=R=\displaystyle\frac{|\overline{AB}|}{2} \)

Si el vértice queda fuera entonces  \( |\overline{CM}|>\displaystyle\frac{|\overline{AB}|}{2} \) y el águlo en C es menor que el ángulo sobre la circunferencia

Si el vértice queda dentro entonces  \( |\overline{CM}|<\displaystyle\frac{|\overline{AB}|}{2} \) y el águlo en C es mayor que el ángulo sobre la circunferencia


Es facil comprobar por ser \( \widehat{ACB} \) ángulo inscrito a la circunferencia es \( \widehat{ACB}=\displaystyle\frac{\widehat{AMB}}{2}=\displaystyle\frac{\pi}{2} \) radianes.


Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

16 Octubre, 2016, 09:33 pm
Respuesta #2

feriva

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Hola de nuevo. Yo, para que no sea sólo Ingmarov, he hecho una animación; abajo a la izquierda hay como un botón de pausa de vídeo con el que se puede parar para comprobar la suma en cualquier momento si se quiere

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=91008.0;attach=17613


Saludos.

26 Octubre, 2016, 10:37 am
Respuesta #3

Michel

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Otra forma.

Tenemos que demostrar:

a) Si CM=AB/2, entonces ACB=90º   y   b) Si ACB=90º, entonces CM=AB/2

a) Si CM=AB/2, será MA=MB=MC, es decir, el punto M equidista de A, B y C, por lo que el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de diámetro AB; entonces el ángulo ACB, será recto, porque es inscrito y abarca un arco de 180º.

b) Si ACB=90º, como es inscrito, abarca 180º, es decir, AB es un diámetro, cuyo punto medio M es el centro de la circunferencia, resultando CM=AB/2.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker