Autor Tema: Delta complejos

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27 Octubre, 2016, 11:29 pm
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serpa

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Hola a todos. Estoy tratando de entender la siguiente definición del \( \Delta \)-complejo de un espacio \( X \), con un ejemplo. La definición es la siguiente (Tomada del Hatcher - Alegbraic Topology)

Es una colección de funciones \( \sigma_{\alpha}:\Delta^n\longrightarrow{X} \), con \( n \) dependiendo de \( \alpha \), tal que:

1) La restricción \( \sigma_{\alpha}|_{int(\Delta^n)} \) es inyectiva y cada punto de X está en la imagen de exactamente una de dichas restricciones \( \sigma_{\alpha}|_{int(\Delta^n)} \).

2) Cada restricción de \( \sigma_{\alpha} \) a una cara de \( \Delta^n \) es una de las funciones \( \sigma_{\beta}:\Delta^{n-1}\longrightarrow{X} \).

3)\( A\subset{X} \) es abierto si y sólo si \( \sigma_{\alpha}^{-1}(A) \) es abierto en \( \Delta^n \) para cada \( \sigma_{\alpha} \).


El ejemplo con el que trato de entenderlo es con el toro, es decir \( X=S^1\times{S^1} \).

Pido su ayuda porque no se por donde empezar para encontrar la estructura de delta complejo del toro.

Saludos

28 Octubre, 2016, 11:02 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola a todos. Estoy tratando de entender la siguiente definición del \( \Delta \)-complejo de un espacio \( X \), con un ejemplo. La definición es la siguiente (Tomada del Hatcher - Alegbraic Topology)

Es una colección de funciones \( \sigma_{\alpha}:\Delta^n\longrightarrow{X} \), con \( n \) dependiendo de \( \alpha \), tal que:

1) La restricción \( \sigma_{\alpha}|_{int(\Delta^n)} \) es inyectiva y cada punto de X está en la imagen de exactamente una de dichas restricciones \( \sigma_{\alpha}|_{int(\Delta^n)} \).

2) Cada restricción de \( \sigma_{\alpha} \) a una cara de \( \Delta^n \) es una de las funciones \( \sigma_{\beta}:\Delta^{n-1}\longrightarrow{X} \).

3)\( A\subset{X} \) es abierto si y sólo si \( \sigma_{\alpha}^{-1}(A) \) es abierto en \( \Delta^n \) para cada \( \sigma_{\alpha} \).


El ejemplo con el que trato de entenderlo es con el toro, es decir \( X=S^1\times{S^1} \).

Pido su ayuda porque no se por donde empezar para encontrar la estructura de delta complejo del toro.

Un \( \Delta^2 \) es un triángulo; \( \Delta^1 \) un segmento.

Recuerda además que topológicamente el toro se construye pegando un cuadrado por sus lados opuestos.

Entonces el toro puede construirse con dos aplicaciones \( \Delta^2\longrightarrow{}T \) y tres \( \Delta^1\longrightarrow{}T \).

Están ilustradas en este gráfico, sobre el cuadrado, antes de pegarlo:



Pegado quedaría así:



Saludos.

29 Octubre, 2016, 06:14 pm
Respuesta #2

serpa

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Gracias por la ayuda. Todo claro. Pero como podría ver que esas funciones cumplen la definición?

Saludos

29 Octubre, 2016, 07:40 pm
Respuesta #3

EnRlquE

  • Lathi
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Hola serpa.

 Antes de responder tu pregunta, nota que a las cinco aplicaciones que menciona al_manco hay que agregarle una aplicación \( \Delta^{0}\to T \), cuya imágen es el punto de intersección de las imágenes de las cinco funciones anteriores. Ahora, sobre esto

Gracias por la ayuda. Todo claro. Pero como podría ver que esas funciones cumplen la definición?

 Pues hay que verificar que se cumplen todas las condiciones que la definición exige, ¿has intentado algo?, ¿qué dudas tienes? Por ejemplo, para verificar la primera propiedad puedes analizar las posibles ubicaciones que puede tener un punto en el cuadrado \( [0,1]\times[0,1] \) (pensándolo como el cuadrado del dibujo de el_manco). La segunda propiedad es una verificación directa; tienes que notar que las restricciones de las aplicaciones \( \Delta^{k}\to T \) a las caras de \( \Delta^{k} \) siguen formando parte del conjunto de aplicaciones que estamos considerando. La propiedad tres podría ser algo más complicada (inténtala).

 En fin, intenta hacer la verificación y concreta las dudas que tengas en el camino.

Saludos,

Enrique.