[malboro]

El quiver \( Q \) que definiré tiene las siguientes condiciones:
Finito, permitimos aristas multiples pero no lazos o bucles ni 2-ciclos orientados y no necesariamente tiene que ser conexo.

Definición.- (Mutación de un quiver)
Sea \( k \) un vértice mutable del quiver \( Q \) (Vértice mutable es el vértice en el cual podemos hacer una mutación  vértice congelado es el vértice en el cual no se puede hacer una mutación).
La mutación del quiver \( Q \) en un vértice fijo \( k \) transforma el quiver \( Q \) en un nuevo quiver \( U_k(Q)
 \) via una sucesión de tres pasos:
1) Para cada camino de dos flechas orientadas \( i-->k-->J \) adicionamos una nueva flecha \( i\longrightarrow{j} \) pero si los vértices  \( i,j \) son ambos congelados entonces no hacemos nada.
2) Invertimos el sentido de todas las flechas incidentes al vétice \( k \)

3) SI tenemos 2-ciclos orientados los borramos osea si a------>b y al mismo tiempo tenemos a<------b entonces borramos esas dos flechas.

OBS: Si vértice \( k \) de un quiver es una fuente o pozo entonces la mutación en \( k \) invierte la orientación de todas las flechas incidentes en \( k \) y NO HACE NADA MÁS.
Coloque un ejemplo para hallar la mutación de un quiver, lo pueden descargar a bajo.

Definición.- (Equivalencia de mutaciones)
Dos quivers \( Q \) y \( R \) son llamados equivalentes por mutación si \( Q \) puede ser transformado en un quiver isomorfo a \( R \) por una sucesión de mutaciones. (De manera equivalente \( R \) puede ser transformado en un quiver isomorfo a \( Q \)).

La clase de equivalencia por mutación \( [Q] \) de un quiver \( Q \) es el conjunto de todos los quivers (salvo isomorfismo) que son equivalentes por mutación a \( Q \).

Un ejemplo, el quiver de Markov, (como no se diseñar esas flechas estoy tomando foto a los dibujos y ya ustedes lo pueden descargar).

Hay un ejercicio que no entiendo bien el enunciado.

Es el ejercicio 2.6.3 que esta en la página 25 del siguiente artículo: https://arxiv.org/pdf/1608.05735.pdf
Dice lo siguiente:
Muestre que todas las orientaciones de un árbol sin vértices congelados son equivalentes por mutación a otro via mutaciones de fuentes y pozos.

No entiendo bien cuando dice por mutaciones fuentes y pozos.

[Luis Fuentes]

Hola

Muestre que todas las orientaciones de un árbol sin vértices congelados son equivalentes por mutación a otro via mutaciones de fuentes y pozos.

No entiendo bien cuando dice por mutaciones fuentes y pozos.

Pues que puede pasarse de una orientación a otra haciendo una cadena de mutaciones sólo en vértices que sean fuentes (sólo salen flechas de ellas) o sumideros/pozos (sólo llegan flechas).

Puedes intentar probarlo por inducción en el número de vértices. Esta es la idea (aunque no he encontrado una forma de explicarla que me satisfaga)

Considera un vértice \( v_0 \) terminal del árbol subyacente; sea \( v_1 \) el vértice anexo a él.

Si \( v_1 \) es fuente o sumidero al quitar \( v_0 \) lo sigue siendo.

Si \( v_1 \) no es fuente o sumidero, pero al quitar \( v_0 \) si lo fuese, hacemos una mutación en \( v_0 \) de manera que ahora \( v_1 \) es fuente o sumidero tanto en el árbol completo como en el árbol sin \( v_0 \).

Si \( v_1 \) no es fuente o sumidero al quitar \( v_0 \) tampoco lo era inicialmente.

Estas tres consideraciones las hacemos para que al quitar \( v_0 \) del árbol consigamos un árbol con un vértice menos y los mismos sumideros y fuentes que el inicial (salvo \( v_0 \), claro). Por hipótesis de inducción puede ser orientado de cualquier manera mediante mutaciones de vértices sumidero y fuente. Nótese que si aplicamos las mismas al árbol original, las posibles mutaciones sobre \( v_1 \) irán cambiando de sentido la arista que lo une con \( v_0 \), pero podemos reorientarla como queramos sin más que mutar en \( v_0 \).

Saludos.

[malboro]

Muchas gracias Manco.