[sqrmatrix]

Saludos, feriva.

He hecho las primeras pruebas y parece que tu conjetura no se cumple para valores grandes de \( \displaystyle n \), sino más bien que el límite del cociente \( \displaystyle \dfrac{y}{x} \) es \( \displaystyle 3 \). Pongo aquí los cálculos que he hecho:

\( \displaystyle
n=10000000 \to \dfrac{y}{x}=3.114798198616433 \\
n=20000000 \to \dfrac{y}{x}=3.1156193083516674 \\
n=30000000 \to \dfrac{y}{x}=3.1135229009288508 \\
n=40000000 \to \dfrac{y}{x}=3.1097567007267535 \\
n=50000000 \to \dfrac{y}{x}=3.1049317901825977 \\
n=60000000 \to \dfrac{y}{x}=3.10315365687291 \\
n=70000000 \to \dfrac{y}{x}=3.0998928269077424 \\
n=80000000 \to \dfrac{y}{x}=3.104157222279496 \\
n=90000000 \to \dfrac{y}{x}=3.1031353408888593 \\
n=100000000 \to \dfrac{y}{x}=3.0984996347793428
 \)

Existe la posibilidad de que el programa que he hecho tenga algún error, aunque me da los mismos resultados que a tí en algunos de los ejemplos que pusiste. Pero para valores tan grandes, siempre existe la posibilidad de algún desbordamiento (aunque le puse alguna comprobación, que no sé si será muy efectiva). Es una pena, pues me gustaba tu conjetura . No obstante, habría que ver muchos más resultados para asegurar que el límite va a ser \( \displaystyle 3 \).

[feriva]

Saludos, feriva.

He hecho las primeras pruebas y parece que tu conjetura no se cumple para valores grandes de \( \displaystyle n \), sino más bien que el límite del cociente \( \displaystyle \dfrac{y}{x} \) es \( \displaystyle 3 \). Pongo aquí los cálculos que he hecho:

\( \displaystyle
n=10000000 \to \dfrac{y}{x}=3.114798198616433 \\
n=20000000 \to \dfrac{y}{x}=3.1156193083516674 \\
n=30000000 \to \dfrac{y}{x}=3.1135229009288508 \\
n=40000000 \to \dfrac{y}{x}=3.1097567007267535 \\
n=50000000 \to \dfrac{y}{x}=3.1049317901825977 \\
n=60000000 \to \dfrac{y}{x}=3.10315365687291 \\
n=70000000 \to \dfrac{y}{x}=3.0998928269077424 \\
n=80000000 \to \dfrac{y}{x}=3.104157222279496 \\
n=90000000 \to \dfrac{y}{x}=3.1031353408888593 \\
n=100000000 \to \dfrac{y}{x}=3.0984996347793428
 \)

Existe la posibilidad de que el programa que he hecho tenga algún error, aunque me da los mismos resultados que a tí en algunos de los ejemplos que pusiste. Pero para valores tan grandes, siempre existe la posibilidad de algún desbordamiento (aunque le puse alguna comprobación, que no sé si será muy efectiva). Es una pena, pues me gustaba tu conjetura . No obstante, habría que ver muchos más resultados para asegurar que el límite va a ser \( \displaystyle 3 \).

Gracias, Sqrmatrix.

Bueno, ya había rectificado en mi respuesta de anoche

Sí, va a ser tres; estoy mirando otras cosas, ya te contaré si veo algo.

Saludos.

[sqrmatrix]

Saludos de nuevo, feriva.

No acabo de ver la justificación del límite \( \displaystyle 3 \) en los cálculos que hacéis Luis Fuentes y tú. En esos cálculos veo que ese límite \( \displaystyle 3 \) es para la suma de todos los primos. Pero nosotros estamos calculando sólo los primos que forman parte de las parejas de primos que suman el entero \( \displaystyle 2\cdot n \), por lo que a primera vista no parece que tengan que coincidir. A no ser que se me esté pasando algo por alto. Los cálculos por ordenador nos muestran que sí que es ese límite, pero a partir de las expresiones obtenidas para ese límite yo no veo cómo deducir ese límite desde la suma de todos los primos a la suma de las parejas de primos que suman \( \displaystyle 2\cdot n \). En todo caso, creo que los cálculos por ordenador nos muestran que el límite es al menos cercano a \( \displaystyle 3 \), y seguramente sea \( \displaystyle 3 \).

Por otro lado, la expresión tan interesante \( \displaystyle \dfrac{\sum_1^k p_i}{k}\approx\dfrac{2\cdot n}{\pi+1} \) queda en una triste expresión \( \displaystyle \dfrac{\sum_1^k p_i}{k}\approx\dfrac{n}{2} \) .

Spoiler

El desarrollo para obtener la anterior expresión es (sustituimos \( \displaystyle \pi \) por el valor \( \displaystyle 3 \)):

\( \displaystyle \dfrac{\sum_1^k p_i}{k}\approx\dfrac{2\cdot n}{3+1} \to \\
\dfrac{\sum_1^k p_i}{k}\approx\dfrac{n}{2}
 \)

[cerrar]

Otro desarrollo que he obtenido ha sido el siguiente. Tenemos todos los pares de primos que cumplen \( \displaystyle p_i+q_i=2\cdot n \), en total \( \displaystyle k \) pares. Tenemos que \( \displaystyle x=\sum_1^k p_i \) y \( \displaystyle y=\sum_1^k q_i \). Por tanto, el cociente \( \displaystyle \dfrac{y}{x} \) será \( \displaystyle \dfrac{\sum_1^k q_i}{\sum_1^k p_i} \). Pero por ser \( \displaystyle p_i+q_i=2\cdot n \), podemos hacer \( \displaystyle q_i=2\cdot n-p_i \) y sustituir en la anterior expresión, quedándonos \( \displaystyle \dfrac{y}{x}=\dfrac{k\cdot2\cdot n}{\sum_1^k p_i}-1 \), que tampoco es que sea muy interesante que digamos .

Spoiler

El desarrollo es:

\( \displaystyle \dfrac{y}{x}=\dfrac{\sum_1^k q_i}{\sum_1^k p_i} \to \\
\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sum_1^k (2\cdot n-p_i)}{\sum_1^k p_i} \to \\
\dfrac{y}{x}=\dfrac{k\cdot2\cdot n-\sum_1^k p_i}{\sum_1^k p_i} \to \\
\dfrac{y}{x}=\dfrac{k\cdot2\cdot n}{\sum_1^k p_i}-1
 \)

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

No acabo de ver la justificación del límite \( \displaystyle 3 \) en los cálculos que hacéis Luis Fuentes y tú.

Ojo, mi demostración del límite 3 es exclusviamente para las suma de todos los primos como dices. El panorama podría cambiar si nos quedamos sólo con los primos que forman parte de las parejas que suman el par dado.

Saludos.

[sqrmatrix]

Saludos, Luis Fuentes.

Hola

No acabo de ver la justificación del límite \( \displaystyle 3 \) en los cálculos que hacéis Luis Fuentes y tú.

Ojo, mi demostración del límite 3 es exclusviamente para las suma de todos los primos como dices. El panorama podría cambiar si nos quedamos sólo con los primos que forman parte de las parejas que suman el par dado.

Saludos.

Sí, sabía que ese límite que calculaste aplicaba a la suma de todos los primos, y de ahí mi duda, porque luego, en las posteriores respuestas, entendí luego que esa era la justificación de que los cálculos tendieran hacia el valor 3 y que el límite que calculaste también aplicaba al caso que estamos tratando de la suma de los pares que suman el entero en cuestión. Entendí mal las explicaciones posteriores. Gracias por la aclaración.

[feriva]

No había error en el programa (al menos no el que creía haber visto)


* (Aunque he cambiado el título en esta respuesta, esto está ubicado en el hilo "Memorias sobre la CF de Goldbach")

Goldbach plus (la pirámide que encierra la conjetura)

Sea \( 2n
  \) un número par y consideremos el conjunto de los primos menores que “n”.

Para cada uno de ellos existe un número \( b_{i}
  \) tal que \( p_{i}+b_{i}=2n
  \).

No importa en esta cuestión si \( b_{i}
  \) es primo o compuesto, pues me fijaré en las preparaciones (ahora lo explico) respecto de los pares siguientes.

Llamo preparación simplemente a esta situación: \( b_{i}+2k=primo
  \).

Obviamente, si tenemos un par \( 2n=p_{i}+b_{i}
  \) según lo dicho y, por ejemplo, un \( b_{i}
  \) tal que \( b_{i}+2=primo
  \), entonces \( 2n+2
  \) cumple la conjetura, puesto que \( p_{i}+(b_{i}+2)=2n+2
  \) es suma de primos.

Si \( b_{i}+4=primo
  \), entonces existe un primo a la derecha, y a distancia de cuatro unidades, de \( b_{i}
  \) tal que \( 2n+4
  \) cumple también... Y así podríamos obtener, quizá, unas cuantas preparaciones consecutivas que garantizarían la conjetura hasta un cierto \( 2n+2k
  \).

Bien.

A partir de \( n=7
  \) parece cumplirse siempre lo que a continuación voy a explicar.

1º Tomemos todos los \( b_{i}
  \) existentes respecto al par \( 2\cdot n=2\cdot7=14
  \), por ejemplo.

Consideremos, para cada uno de ellos, las distancias hacia la derecha dadas por

\( 2\cdot1,\,2\cdot2,\,2\cdot3,...,2\cdot n,\,
  \).

Seguidamente eliminemos de esa lista de pares los \( 2k \) tales que \( b_{i}+2k\neq primo
  \)

y entendamos los restantes elementos, una vez hecho lo dicho, como elementos de un conjunto; sea éste \( B_{2n}
  \).

(de un conjunto porque, cuando los \( 2n
  \) empiezan a ser sólo un poquitín grandes, nos van a salir varios doses o varios cuatros, etc., o sea, distancias repetidas; pero con tomar una de ellas ya nos garantiza que se cumpla la conjetura para el par que toque; si repetimos vamos a obtener el mismo par, que es tontería).

Todo esto que he hecho para \( n=7
  \) hagámoslo exactamente igual para \( n=8
  \) (obtendremos otro conjunto de distancias pares, esta vez relacionadas con los \( b_{i}
  \) respecto del par 16. No van a implicar los mismos primos asociados a las distancias, pero sí distancias comunes según sus respectivos \( b_i \)).

Llamemos a este último conjunto obtenido \( B_{2n+2}
  \).

Calculemos para terminar \( B_{2n}\cap\, B_{2n+2}
  \).

Lo que se observa es que dado un conjunto \( B_{2n}\cap\, B_{2n+2}
  \), entonces el conjunto intersección siguiente \( B_{2n+2}\cap\, B_{2n+4}
  \) tiene todos los elementos que el conjunto de la intersección anterior y otro más; además aparecen siempre todos los elementos 2,4,6... sin omitir ningún par, para todas las intersecciones a partir de n=7.

Se puede añadir, además, que la cantidad de elementos para cada \( 2n
  \) es siempre \( n-1 \).

Éste es el resultado del programa (se puede hacer para números más grandes, claro)

Spoiler

python preparaciones.py
14 []
16 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14]
18 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16]
20 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18]
22 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20]
24 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22]
26 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24]
28 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26]
30 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28]
32 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30]
34 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32]
36 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34]
38 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36]
40 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38]
42 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40]
44 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42]
46 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44]
48 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46]
50 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48]
52 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50]
54 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52]
56 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54]
58 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56]
60 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58]
62 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60]
64 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62]

[cerrar]

La lista del 14 aparece vacía porque se consideraría la intersección con 12, y no empiezo desde ahí. Así que al lado de 16 lo que parece ya es el conjunto intersección entre el 14 y el 16; y al lado del 18 la intersección entre el 16 y el 18... y así sucesivamente.

A diferencia de cuando estudiaba las parejas de primos para cada 2n con un programa, que se veía que aumentaban pero de forma no monótona, a picos, las preparaciones sí crecen uniformemente para cada par consecutivo de una en una (con las consideraciones hechas). Esto, aun sin demostrar la conjetura, da más seguridad, parece más difícil que se rompa es tendencia tan clara y definida. Así que Goldbach plus, parece que lava más blanco (más que lo de las parejas).

El programa lo he hecho para Python-2 y lo pongo por si acaso me he equivocado en algo y nada de esto está bien, que podría ser.

Spoiler

Código: [Seleccionar]

from sympy import*

A=[] # Lista de conjuntos
K=set() # Conjunto vacio para contador

def f(): # Funcion para buscar elementos b+2m, donde b pertenece a (n, 2n) y es primo o compuesto indistintamente.
B = set() # Conjunto de distancias pares respecto de "b"
for a in range (n): # Bucle que busca los primos del intervalo (0,n) tales que a+b=2n

if isprime (a):

b=2*n-a
else:

continue

for c in range (2, 2*n+1, 2): # Bucle que para comprobar "n" distnacias pares.

if isprime (b+c): # Si es primo b+c...


B.add (c) # guarda la distnacia c en el conjunto B.
A.append (B) # Introduce en la lista "A" el conjunto de distancias existentes respecto de los "b" tales que b+c=primo.


x=7
y=32

for n in range (x,y+1): # Bucle que determina los distintos n.

f()  # Llamada a la funcion

cont = 0 # Contador para ir imprimiendo el 2n correspondiente a cada lado de los conjuntos distancias.
for T in (A): #Busca los conjuntos de la lista A y los introduce en T.

inter = T & K # Halla la interseccion de los conjuntos A con el conjunto K, que empieza siendo vacio.

L= list(inter) # Transforma el conjunto anterior en lista.

L.sort()  # Ordena la lista.

print  2*x+cont, L #imprime el par 2n cuyo conjunto distancias intersecciona con el conjunto de 2n-1.
K=T # El conjunto K, que era vacio al empezar, ahora es el anterior conjunto de A respecto al proximo "A" en el bucle.
cont = cont + 2 # Contador actuando para indicar los 2n sucesivos.
 

[cerrar]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si no me equivoco, lo único que se está poniendo de manifiesto ahí, es que cualquier número par puede descomponerse como suma de primos de manera que el primo más pequeño sea menor o igual que su cuarta parte, es decir, que un número par:

 \( 2n+2k \) con \( k\leq n  \)

 puede descomponerse como:

\(  2n+2k=p_i+\underbrace{(\underbrace{2n-p_i}_{b_i})+2k}_{primo} \)

 Pero esto ya es conocido (empíricamente, claro). Hay artículos que estudian la llamada partición minimal de Goldbach de un par, que es la descomposición en suma de primos de un par dado donde aparece el primo más pequeño.. Por ejemplo aquí tienes la secuencia de esos primos más pequeños:

https://oeis.org/A002373

 Se conjetura que para el par \( 2N \) ese primo más pequeño de sus descomposiciones como suma de primos es del orden de \( N^2/2 \).

Saludos.

[feriva]

Hola

 Si no me equivoco, lo único que se está poniendo de manifiesto ahí, es que cualquier número par puede descomponerse como suma de primos de manera que el primo más pequeño sea menor o igual que su cuarta parte, es decir, que un número par:

 \( 2n+2k \) con \( k\leq n  \)

 puede descomponerse como:

\(  2n+2k=p_i+\underbrace{(\underbrace{2n-p_i}_{b_i})+2k}_{primo} \)

 Pero esto ya es conocido (empíricamente, claro). Hay artículos que estudian la llamada partición minimal de Goldbach de un par, que es la descomposición en suma de primos de un par dado donde aparece el primo más pequeño.. Por ejemplo aquí tienes la secuencia de esos primos más pequeños:

https://oeis.org/A002373

 Se conjetura que para el par \( 2N \) ese primo más pequeño de sus descomposiciones como suma de primos es del orden de \( N^2/2 \).

Saludos.

Muchas gracias, Luis. Voy a ver esa secuencia.

Saludos.