Autor Tema: Divergencia

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21 Octubre, 2016, 10:25
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CKmatematico08

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Hola, alguna sugerencia para este problema.

Demostrar que la serie \[ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n}}.\displaystyle\frac{1+a_{n+1}}{a_n} \] es divergente para toda sucesión \[ \left\{{a_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}} \] con \[ a_n>0, \forall{n\in{\mathbb{N}}} \].

Gracias.

21 Octubre, 2016, 20:00
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola CKmatematico08.

 Sería bueno que indicaras lo que has intentado o las dudas concretas que tienes en los ejercicios que publicas. En nuestro caso podemos seguir el siguiente camino:

\[ \bullet \] La serie es igual a la suma de las series \[ \sum_{n}\frac{1}{na_{n}}+\sum_{n}\frac{1}{n}c_{n}, \] donde \[ c_{n}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \] para todo \[ n\in\mathbb{N}. \]

\[ \bullet \] Supongamos que \[ \sum_{n}\frac{1}{n}c_{n} \] converge. En este caso si \[ x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}c_{k} \] y \[ x_{0}=0 \] podemos verificar que \[ n(x_{n}-x_{n-1})=c_{n}. \] En consecuencia \[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}=\sum_{k=0}^{n-1}(x_{n}-x_{k}). \]

\[ \bullet \] Fijemos \[ \varepsilon>0. \] De la convergencia de \[ (x_{n})_{n} \] se sigue que existe \[ N\in\mathbb{N} \] tal que \[ |x_{n}-x_{N}|<\varepsilon \] para todo \[ n\geq N. \]

\[ \bullet \] Para \[ n \] suficientemente grande ocurre que

\[ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}c_{k}\leq\sum_{k=0}^{N-1}(x_{n}-x_{k})+n(x_{n}-x_{N}). \]

\[ \bullet \] Luego, gracias a que \[ \sqrt[n]{a_{n+1}/a_{1}}=\sqrt[n]{c_{1}c_{2}\dots c-{n}}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}c_{k} \]

\[ \displaystyle\sqrt[n]{\frac{a_{n+1}}{a_{1}}}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}c_{k}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{N-1}(x_{n}-x_{k})+\varepsilon. \]

\[ \bullet \] De lo anterior deduce que \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n+1}}=0, \] en particular \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{na_{n}}}=+\infty \] y por tanto la serie \[ \sum_{n}\frac{1}{na_{n}} \] diverge.

 Sospecho que debe haber algún camino más corto para resolver la pregunta. Todo el anterior razonamiento conduce a \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{na_{n}}}=+\infty \] que en cierta forma es "información de sobra" para deducir la divergencia de \[ \sum_{n}\frac{1}{na_{n}} \].

 En fin, si tienes alguna duda, pregunta.

Nota
La anterior prueba está basada (o al menos es muy parecida) a la prueba de un criterio de convergencia que ahora no recuerdo como se llama (de hecho tampoco recuerdo bien su enunciado). Si recuerdo el resultado que estoy imaginando lo enlazo luego, imagino que reduciría bastante el tamaño de la solución. De todas formas, dado que no lo recuerdo en este momento y que creo que no es muy estándar, preferí escribir lo anterior.
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Saludos,

Enrique.