Autor Tema: Sucesión 1

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21 Octubre, 2016, 03:21 pm
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CKmatematico08

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Hola, podrian darme sugerencia para este problema.

[/tex] Sean las sucesiones de números reales positivos \( \left\{{a_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}} \), \( \left\{{b_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}} \) tal que: \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(a_n)^n}=a \) y \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(b_n)^n}=b \), con \( a,b>0 \)
y sean \( p,q\in{\mathbb{R^+}} \) / \( p+q=1 \). Demostrar que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(pa_n+qb_n)^n}=a^pb^q \)

Gracias.

22 Octubre, 2016, 05:19 am
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola CKmatematico08.

 En este momento sólo se me ocurre lo siguiente: Como el logaritmo es una función cóncava, gracias a la desigualdad de Jensen, obtenemos que \( \ln(px+qy)\geq p\ln x+q\ln y=\ln(x^{p}y^{q}). \) Es decir \( px+qy\geq x^{p}y^{q} \) para todo \( x,y>0. \) De esto se deduce que

\( (pa_{n}+qb_{n})^{n}\geq (a_{n}^{p}b_{n}^{q})^{n}, \)

para todo \( n\in\mathbb{N}. \) Luego \( \liminf_{n\to\infty}(pa_{n}+qb_{n})^{n}\geq a^{p}b^{q}. \) Probar que \( \limsup_{n\to\infty}(pa_{n}+qb_{n})^{n}\leq a^{p}b^{q} \) debe ser más complicado; ahora no se me ocurre cómo. Intenta trabajar con algunas desigualdades y cuéntanos lo que obtienes, tal vez logramos avanzar un poco.

Saludos,

Enrique.