Autor Tema: Medida con signo.

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17 Octubre, 2016, 01:04 am
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mapa

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¡Hola!

Si \( \lambda \) es una medida signada en (X,S) debo demostrar que:
a) \( \lambda \) es acotada
b) \( \lambda ^+(E)=sup\{\lambda(F): \, \, F\subset{E}, \, \, F\in{S}\} \)
c) \( \lambda ^-(E)=ínf\{\lambda(F): \, \, F\subset{E}, \, \, F\in{S}\} \)

¿Me podrían ayudar con esto por favor?

Tengo que por definición, que si \( \lambda \)  es una medida signada en (X,S) con (P,N) una descomposición de Hahn, la variación positiva de \( \lambda \) definida por E en S es la medida finita \( \lambda ^+(E):= \lambda (E\cap{P}) \) y la variación negativa de \( \lambda \) definida por E en S es la medida finita \( \lambda ^-(E):=-\lambda (E\cap{N}) \)

18 Octubre, 2016, 04:13 am
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola mapa.

 No tengo claro con qué tipo de medidas estas trabajando, pues indicas que \( \lambda^{+} \) y \( \lambda^{-} \) son medidas finitas (ambas). Pero esto en general no es verdad. Dada una medida con signo \( \lambda:X\to\bar{\mathbb{R}} \) es usual definirla de modo que no asuma los valores \( +\infty \) y \( -\infty \) a la vez. Entonces si por ejemplo asumimos que \( \lambda(E)>-\infty \) para todo \( E\in S \) lo que se deduce es que la medida \( \lambda^{-} \) es finita, pero no necesariamente \( \lambda^{+} \) va a ser finita. Y en general, dada cualquier medida con signo \( \lambda \) sólo podemos asegurar que una de las medidas \( \lambda^{+} \) o \( \lambda^{-} \) es finita. Puedes das una mirada a las páginas \( 135-136 \) de este libro para ver más detalles.

 Entonces respecto a tus preguntas

\( a) \) No se bien qué quieres decir con que \( \lambda \) sea acotada. De la descomposición de Jordan de \( \lambda \) se deduce que si \( |\lambda|=\lambda^{+}+\lambda^{-}, \) entonces \( |\lambda(E)|=|\lambda^{+}(E)-\lambda^{-}(E)|\leq\lambda^{+}(E)+\lambda^{-}(E)=|\lambda|(E), \) para cualquier \( E\in S. \) Tal vez sea esto lo que buscas.

\( b) \) Observa que si \( F\subset E, \) entonces \( F\cap P\subset E\cap P. \) Luego \( \lambda^{+}(F)\leq\lambda^{+}(E). \) Entonces, como siempre \( \lambda(F)\leq\lambda^{+}(F), \) concluimos que \( \lambda(F)\leq\lambda^{+}(E). \) Por otro lado, considerando \( F:=E\cap P\subset E \) se tiene \( \lambda(F)=\lambda(E\cap P)=\lambda^{+}(E). \)

\( c) \) Es análogo a lo anterior.

Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.

19 Octubre, 2016, 01:56 am
Respuesta #2

mapa

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Hola mapa.

 No tengo claro con qué tipo de medidas estas trabajando, pues indicas que \( \lambda^{+} \) y \( \lambda^{-} \) son medidas finitas (ambas). Pero esto en general no es verdad. Dada una medida con signo \( \lambda:X\to\bar{\mathbb{R}} \) es usual definirla de modo que no asuma los valores \( +\infty \) y \( -\infty \) a la vez. Entonces si por ejemplo asumimos que \( \lambda(E)>-\infty \) para todo \( E\in S \) lo que se deduce es que la medida \( \lambda^{-} \) es finita, pero no necesariamente \( \lambda^{+} \) va a ser finita. Y en general, dada cualquier medida con signo \( \lambda \) sólo podemos asegurar que una de las medidas \( \lambda^{+} \) o \( \lambda^{-} \) es finita. Puedes das una mirada a las páginas \( 135-136 \) de este libro para ver más detalles.

 Entonces respecto a tus preguntas

\( a) \) No se bien qué quieres decir con que \( \lambda \) sea acotada. De la descomposición de Jordan de \( \lambda \) se deduce que si \( |\lambda|=\lambda^{+}+\lambda^{-}, \) entonces \( |\lambda(E)|=|\lambda^{+}(E)-\lambda^{-}(E)|\leq\lambda^{+}(E)+\lambda^{-}(E)=|\lambda|(E), \) para cualquier \( E\in S. \) Tal vez sea esto lo que buscas.

Sí, ¡muchas gracias! revisaré el libro que me compartes.

\( b) \) Observa que si \( F\subset E, \) entonces \( F\cap P\subset E\cap P. \) Luego \( \lambda^{+}(F)\leq\lambda^{+}(E). \) Entonces, como siempre \( \lambda(F)\leq\lambda^{+}(F), \) concluimos que \( \lambda(F)\leq\lambda^{+}(E). \) Por otro lado, considerando \( F:=E\cap P\subset E \) se tiene \( \lambda(F)=\lambda(E\cap P)=\lambda^{+}(E). \)

\( c) \) Es análogo a lo anterior.

Si tienes alguna duda, pregunta.

De acuerdo, y de nuevo ¡muchas gracias!