Autor Tema: Variación total

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17 Octubre, 2016, 12:52 am
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mapa

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¡Hola!
Hay un ejercicio que necesito probar y dice que si (X,S) es un espacio de medida y \( \lambda \) es una medida con signo. Sucede que la variación total de un conjunto M es igual a cero sí y sólo si el conjunto M es nulo.

Ya probé una implicación; pero la otra no logro completarla. Lo que me falta es suponiendo la variación total de un conjunto M es igual a cero demostrar que el conjunto M es nulo.

Spoiler
Sea (P,N) una descomposición de Hahn para \( \lambda \)
Supongo que a variación total de un conjunto M es igual a cero, entonces usando la definición he llegado a que la variación positiva es igual al negativo de la variación negativa, esto es, \( \lambda(M\cap{P})=\lambda(M\cap{N}) \) y usando que P es positivo y N es negativo obtengo \( \lambda(M\cap{P})=0=\lambda(M\cap{N}) \) pero no logro probar que esto implique que M es un conjunto nulo pues para ver que un conjunto es nulo tengo lo que muestro a continuación:

cuento con una equivalencia entre las siguientes proposiciones:
Si (X,S) es un espacio medible y \( \lambda \) una medida, entonces
a)Se dice que un conjunto \( M \in{S} \) es nulo respecto a \( \lambda \) si \( \lambda (E\cap{M})={0} \, \forall{E\in{S}} \)

b)Se dice que un conjunto \( M\in{S} \) es nulo respecto a \( \lambda \) si \( \forall{C\in{S}} \) con \( C\subset{M} \) se tiene \( \lambda (C)={0} \)

¿Cómo debería concluir?
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18 Octubre, 2016, 04:22 am
Respuesta #1

EnRlquE

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Hola mapa.

 Si la variación total de \( M \) es cero, por definición tenemos que \( 0=\lambda^{+}(E)+\lambda^{-}(E), \) donde \( \lambda^{+} \) y \( \lambda^{-} \) son las medidas (no negativas) de la descomposición de Jordan de \( \lambda. \) Esto implica que \( \lambda^{+}(M)=\lambda^{-}(M)=0. \) Por tanto, si \( C\subset M \) es medible tenemos que \( 0\leq\lambda^{+}(C)\leq\lambda^{+}(M)=0 \) y \( 0\leq\lambda^{-}(C)\leq\lambda^{-}(M)=0. \) Por tanto \( \lambda(C)=\lambda^{+}(C)-\lambda^{-}(C)=\dots \)

 Si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

P.S. Lo que tienes es una equivalencia entre definiciones, no proposiciones.

19 Octubre, 2016, 01:39 am
Respuesta #2

mapa

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¡Gracias Enrique! Ya lo veo claro.