Hola mapa.
Bien, como dices los elementos de \( G \) son sólo números reales, pero además son un grupo aditivo y esta es la estructura que debemos aprovechar lo más posible.
Sobre tu primera pregunta, \( g\in\mathbb{R} \) es el nombre que le damos al ínfimo de los valores positivos de \( G. \) Lo que debemos probar primero es que \( g\in G \) (ya que en principio \( g \) sólo es un número real). Esto lo puedes hacer con la idea que te dejé en el spoiler de mi anterior respuesta. Entonces en lo que sigue supongamos que y sabemos que \( g\in G, \) que \( g>0 \) y veamos cómo terminar la prueba del resultado.
Lo que tenemos que probar ahora es que \( G=\langle g\rangle. \) Tomemos cualquier \( x\in G. \)
\( \bullet \) Si \( x>0 \) entonces \( g\leq x, \) luego existe \( N=\max\{n\in\mathbb{N}:\,n g\leq x\}\geq1. \) Observa que si mostramos que \( x=Ng, \) terminamos. Entonces supongamos por contradicción que \( x\neq Ng, \) en este caso \( Ng<x<(N+1)x. \) De las últimas desigualdades se deduce que \( g>x-Ng>0 \) y además \( x-Ng\in G \) (esta pertenencia es gracias a que \( G \) es un grupo). Esto es absurdo por la definición de \( g. \) Luego \( x=Ng\in\langle g\rangle. \)
\( \bullet \) Si \( x<0, \) entonces \( -x>0 \) y por la parte anterior existe \( M\in\mathbb{N} \) tal que \( -x=Mg \) o equivalentemente \( x=-Mg\in\langle g\rangle. \)
\( \bullet \) Claramente, si \( g=0 \) entonces \( x=0g\in\langle g\rangle. \)
Trata de terminar y si tienes dificultades, sigue preguntando.
Saludos,
Enrique.
