Autor Tema: Grupo cíclico

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12 Octubre, 2016, 04:42 am
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mapa

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¡Hola!
Espero que me puedan orientar sobre el siguiente ejercicio:
Sea G un subgrupo del grupo aditivo de los números reales, el cual no es denso en \( \mathbb{R} \). Debo probar que G es cíclico.

12 Octubre, 2016, 05:12 am
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola mapa.

 Intenta probar que \( g=\inf\{x\in G:\; x>0\}\in G. \) Luego muestra que \( G \) es generado por \( g. \)
ayuda
Suponiendo que \( g\not\in G, \) se deduce la existencia de una sucesión decreciente \( (x_{n})_{n\in\mathbb{N}}\subset G \) convergiendo a \( g. \) Esto, en particular, implica que las diferencias \( x_{n+1}-x_{n}\in G \) convergen a cero. Pero en este caso \( G \) sería denso en \( \mathbb{R}. \)
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 Trata de terminar y si tienes dificultades, pregunta.

Saludos,

Enrique.

15 Octubre, 2016, 06:22 pm
Respuesta #2

mapa

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Gracias Enrique! Sí que me siguen surgiendo dificultades...
Hola mapa.

 Intenta probar que \( g=\inf\{x\in G:\; x>0\}\in G. \)
Con esa parte te refieres solo a nombrar al ínfimo como g? O cómo encuentro g?
Siento que me falta información sobre el subgrupo para dar el valor preciso de g.

Luego muestra que \( G \) es generado por \( g. \)
Disculpa, no sé cómo hacer esa parte, pienso que se debe tomar un elemento x en G arbitrario y probar que es un múltiplo entero de g; pero sigo con esa confusión de que no observo suficiente información sobre cómo son o quiénes son exactamente los elementos de G, solo nos dan que son números reales    ???




15 Octubre, 2016, 08:10 pm
Respuesta #3

EnRlquE

  • Lathi
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Hola mapa.

 Bien, como dices los elementos de \( G \) son sólo números reales, pero además son un grupo aditivo y esta es la estructura que debemos aprovechar lo más posible.

 Sobre tu primera pregunta, \( g\in\mathbb{R} \) es el nombre que le damos al ínfimo de los valores positivos de \( G. \) Lo que debemos probar primero es que \( g\in G \) (ya que en principio \( g \) sólo es un número real). Esto lo puedes hacer con la idea que te dejé en el spoiler de mi anterior respuesta. Entonces en lo que sigue supongamos que y sabemos que \( g\in G, \) que \( g>0 \) y veamos cómo terminar la prueba del resultado.

 Lo que tenemos que probar ahora es que \( G=\langle g\rangle. \) Tomemos cualquier \( x\in G. \)

\( \bullet \) Si \( x>0 \) entonces \( g\leq x, \) luego existe \( N=\max\{n\in\mathbb{N}:\,n g\leq x\}\geq1. \) Observa que si mostramos que \( x=Ng, \) terminamos. Entonces supongamos por contradicción que \( x\neq Ng, \) en este caso \( Ng<x<(N+1)x. \) De las últimas desigualdades se deduce que \( g>x-Ng>0 \) y además \( x-Ng\in G \) (esta pertenencia es gracias a que \( G \) es un grupo). Esto es absurdo por la definición de \( g. \) Luego \( x=Ng\in\langle g\rangle. \)

\( \bullet \) Si \( x<0, \) entonces \( -x>0 \) y por la parte anterior existe \( M\in\mathbb{N} \) tal que \( -x=Mg \) o equivalentemente \( x=-Mg\in\langle g\rangle. \)

\( \bullet \) Claramente, si \( g=0 \) entonces \( x=0g\in\langle g\rangle. \)

 Trata de terminar y si tienes dificultades, sigue preguntando.

Saludos,

Enrique.

15 Octubre, 2016, 09:06 pm
Respuesta #4

kike0001

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Hola otro camino es utilizar el teorema que dice que todo subgrupo de un grupo cíclico es también cíclico. Ver el teorema 1.22

https://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra/Teor%C3%ADa_de_grupos/Grupos_generados_y_grupos_c%C3%ADclicos

saludos
שְׁמַ֖ע  יִשְׂרָאֵ֑ל  יְהוָ֥ה  אֱלֹהֵ֖ינוּ  יְהוָ֥ה  אֶחָֽד

http://www.asdrumath.com

15 Octubre, 2016, 09:11 pm
Respuesta #5

EnRlquE

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Hola kike0001.

Hola otro camino es utilizar el teorema que dice que todo subgrupo de un grupo cíclico es también cíclico. Ver el teorema 1.22

https://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra/Teor%C3%ADa_de_grupos/Grupos_generados_y_grupos_c%C3%ADclicos

saludos

 ¿Cómo lo aplicarías en nuestro caso? Nota que \( \mathbb{R} \) no es cíclico.

Saludos,

Enrique.

15 Octubre, 2016, 09:24 pm
Respuesta #6

kike0001

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Hola kike0001.

Hola otro camino es utilizar el teorema que dice que todo subgrupo de un grupo cíclico es también cíclico. Ver el teorema 1.22

https://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra/Teor%C3%ADa_de_grupos/Grupos_generados_y_grupos_c%C3%ADclicos

saludos

 ¿Cómo lo aplicarías en nuestro caso? Nota que \( \mathbb{R} \) no es cíclico.

Saludos,

Enrique.

Hola Enrique me apresure en dar una respuesta, directamente no se puede aplicar ya que \(  \mathbb{R} \) no es cíclico, pero no se si es posible definir un isomorfismo entre el conjunto dado y un subconjunto de \( \mathbb{Z} \), ya que tal conjunto no es denso... depronto teorema de elección? no se... debo pensarlo mejor, gracias por la acotación.

saludos
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17 Octubre, 2016, 12:19 am
Respuesta #7

mapa

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¡Agradezco sus respuestas!  :)