Autor Tema: Subgrupo generado es finito.

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12 Octubre, 2016, 04:38 am
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mapa

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¡Hola!
¿Me pueden dar alguna sugerencia para el siguiente ejercicio por favor?

Sean G un grupo y \( a_1, \ldots , a_n \) elementos de G de orden finito, los cuales conmutan entre sí. Demostrar que el subgrupo \( \left<{a_1, \ldots , a_n}\right> \) de G es finito. Además, mostrar que la condición es falsa si no se supone que los elementos \( a_1, \ldots , a_n \) conmutan entre sí.


12 Octubre, 2016, 05:25 am
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola mapa.

 Supongamos que los órdenes de \( a_{1},\dots,a_{n} \) sean \( k_{1},\dots,k_{n} \) respectivamente. Para la primera parte del problema, cuando los \( a_{i} \) conmutan entre si, comprueba que

\( \langle a_{1},\dots,a_{n}\rangle=\big\{a_{1}^{\alpha_{1}}\dots a_{n}^{\alpha_{n}}:\;\alpha_{i}\in\{1,\dots,k_{i}\}\text{ para todo }i\in\{1,\dots,n\}\big\}; \)

esto implica que \( |\langle a_{1},\dots,a_{n}\rangle|\leq k_{1}\cdot k_{2}\dots k_{n}. \) Para la segunda parte del problema, observa que el producto libre \( \mathbb{Z}_{2}*\mathbb{Z}_{2} \) tiene infinitos elementos pese a que es generado por dos elementos de orden \( 2. \)

 Si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

15 Octubre, 2016, 05:50 pm
Respuesta #2

mapa

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Ya me queda claro, muchas gracias!