Hola mapa.
Supongamos que los órdenes de \( a_{1},\dots,a_{n} \) sean \( k_{1},\dots,k_{n} \) respectivamente. Para la primera parte del problema, cuando los \( a_{i} \) conmutan entre si, comprueba que
\( \langle a_{1},\dots,a_{n}\rangle=\big\{a_{1}^{\alpha_{1}}\dots a_{n}^{\alpha_{n}}:\;\alpha_{i}\in\{1,\dots,k_{i}\}\text{ para todo }i\in\{1,\dots,n\}\big\}; \)
esto implica que \( |\langle a_{1},\dots,a_{n}\rangle|\leq k_{1}\cdot k_{2}\dots k_{n}. \) Para la segunda parte del problema, observa que el
producto libre \( \mathbb{Z}_{2}*\mathbb{Z}_{2} \) tiene infinitos elementos pese a que es generado por dos elementos de orden \( 2. \)
Si tienes dudas, pregunta.
Saludos,
Enrique.
