Autor Tema: Problema con demostracion de teorema de valor medio

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07 Octubre, 2016, 07:00 pm
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BlackSinger

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Hola! Tengo un serio problema con una demostración del teorema de valor medio. En realidad es una tonteria que no entiendo y tengo la esperanza de que alguien mne pueda explicar!

Teorema: Sea \( f:\;(a,b)\rightarrow\mathbb{R} \) una fncion diferenciable. Si\(  f \) alcanza un maximo o un minimo en \( c\in(a,b) \) entonces \( f'(c)=0.  \)
Demostracion: Supongamos que \( f \) alcanza un maximo en \( c \)(el caso del minimo es analogo). Entonces \( f(x)\leq f(c) \) para \( x \) cerca de \( c \). Por lo tanto tenemos que si \( h\geq0 \) y pequeño, entonces
\(
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0 \)
\(
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq0 \)

Como existe \( lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \) y es igual a \( f'(c) \) tenemos que \( f'(c)\leq0 \) y \( f'(c)\geq0 \) por lo tanto \( f'(c)=0 \)

Bien, ahora lo que no entiendo es cuando dice

"que si \( h\geq0 \) y pequeño, entonces
\(
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0 \)
\(
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq0 \)"

Podrian explicarme porque pasa eso?? Gracias!

07 Octubre, 2016, 07:29 pm
Respuesta #1

statistic_man

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Hola! Tengo un serio problema con una demostración del teorema de valor medio. En realidad es una tonteria que no entiendo y tengo la esperanza de que alguien mne pueda explicar!

Teorema: Sea \( f:\;(a,b)\rightarrow\mathbb{R} \) una fncion diferenciable. Si\(  f \) alcanza un maximo o un minimo en \( c\in(a,b) \) entonces \( f'(c)=0.  \)
Demostracion: Supongamos que \( f \) alcanza un maximo en \( c \)(el caso del minimo es analogo). Entonces \( f(x)\leq f(c) \) para \( x \) cerca de \( c \). Por lo tanto tenemos que si \( h\geq0 \) y pequeño, entonces
\(
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0 \)
\(
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq0 \)

Como existe \( lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \) y es igual a \( f'(c) \) tenemos que \( f'(c)\leq0 \) y \( f'(c)\geq0 \) por lo tanto \( f'(c)=0 \)

Bien, ahora lo que no entiendo es cuando dice

"que si \( h\geq0 \) y pequeño, entonces
\(
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0 \)
\(
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq0 \)"

Podrian explicarme porque pasa eso?? Gracias!

Lo que te he puesto en verde es la clave. Tomando un \( h \geq 0 \) "tan pequeño como una quiera" significa que \( h \rightarrow 0 \) y como la desigualdad de verde sirve para todo x toma en particular un valor "tan proximo a c como quiera", es decir, \( [c-h,c+h] \). Sustituye en la fórmula de la derivada y estudia el signo.

07 Octubre, 2016, 07:38 pm
Respuesta #2

ingmarov

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Hola BlackSinger

...
Bien, ahora lo que no entiendo es cuando dice

"que si \( h\geq0 \) y pequeño, entonces
\(
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0 \)
\(
\frac{f(c{\bf\color{red}+}h)-f(c)}{h}\geq0 \)"

Podrian explicarme porque pasa eso?? Gracias!

Creo que el signo que puse en rojo debe ser menos ¿verdad?

Si es así dale click al spoiler, sino ignóralo.

Spoiler
Tenemos

\( \frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0 \)     Por lo que la función decrece a la derecha de x=c .

\( \frac{f(c{\bf\color{red}-}h)-f(c)}{h}\geq0 \)     Por lo que la función crece a la izquierda de x=c.

Si te fijas, lo que determina si es mayor o menor que cero es la resta en el numerador.


Si crece a la izquierda de c y decrece a la derecha, significa que tenemos un máximo en c.

¿Entiendes?

[cerrar]

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

07 Octubre, 2016, 07:45 pm
Respuesta #3

statistic_man

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Si la idea es que uses la desigualdad de verde y la definición de derivada. Si te sirve de consejo, usa esta formulación \( \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \) para el signo. El numerador estúdialo con la desigualdad \( f(x) \leq f(c) \) y el denominador rompiendo el intervalo [c-h,c+h] en [c-h,c] y [c,c+h]. Saludos.