PD. Un añadido personal. Para mí todo esto en el fondo es triste. Me quita un aliciente muy grande que yo tenía para poder emplear las matemáticas elementales que sé. Ahora tengo que ir por ahí buscándome la vida
Ca... en la mar, no me gusta verte desanimado, hay muchas cosas que no has probado, está la función phi y muchos recursos con los que puedes pensar cosas; voy a intentar el caso n=3 por reducción al absurdo, aunque haga el ridículo, para que veas que siempre se te pueden ocurrir cosas nuevas aunque luego no esté bien (supongo que estará mal, ya lo verá mañana el_manco si no lo veo yo a lo largo de la noche; en ese caso lo corregiré yo mismo).
Se puede demostrar fácilmente por inducción (lo hice por ahí en un hilo hablando con Víctor) que todo número natural mayor que 1 se puede expresar como suma de un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3; en el caso de que el número sea par, el mútliplo de 3 es cero por 3, o sea, cero, y análogamente con el 2 si el número es múltiplo de 3.
Entonces, siendo, por ejemplo, “x” impar e “y” par, hagamos
\( x=3n
\)
\( y=2m
\)
\( x^{3}=27n^{3}
\)
\( y^{3}=8m^{3}
\)
Ahora, desarrollando el cubo
\( (3n+2m)^{3}=8m^{3}+36m^{2}n+54mn^{2}+27n^{3}
\)
y de ahí
\( 8m^{3}+27n^{3}=(3n+2m)^{3}-36m^{2}n-54mn^{2}\Rightarrow
\)
\( (3n+2m)^{3}-36m^{2}n-54mn^{2}=z^{3}
\)
Como bien dices, si eso se cumple, implica que se cumpla el P.T. de Fermat, si no se cumpliera Fermat, entonces no sería cierta la posibilidad de que sea un cubo; con lo que podemos escribir:
\( 27n^{3}+8n^{3}=3k+3n+2m=z^{3}\Rightarrow
\)
y volviendo a lo de más arriba
\( (3n+2m)^{3}-36m^{2}n-54mn^{2}=3(k+n)+2m
\)
Ahora despejo así
\( (3n+2m)^{3}-2m=3(k+n)+36m^{2}n+54mn^{2}
\)
vemos que \( (3n+2m)^{3}-2m
\) es múltiplo de 3.
...
Teníamos de arriba
\( (3n+2m)^{3}=8m^{3}+36m^{2}n+54mn^{2}+27n^{3} \)
luego
\( (3n+2m)^{3}-2m=8m^{3}-2m+36m^{2}n+54mn^{2}+27n^{3} \)
y sacando factor común “2m” en el primer sumando de la derecha:
\( (3n+2m)^{3}-2m=2m(4m^{2}-1)+36m^{2}n+54mn^{2}+27n^{3} \)
que es divisible entre 3
Si \( 3|2m
\) no son coprimos “x” e “y”, por tanto tendremos que \( 4m^{2}-1=3r
\) donde “r” es otro entero.
Ahora despejo el “2m” del primer miembro:
\( (3n+2m)^{3}-2m=2m(3r)+36m^{2}n+54mn^{2}+27n^{3} \)
\( (3n+2m)^{3}=2m(3r+1)+36m^{2}n+54mn^{2}+27n^{3} \)
El primer sumando del segundo miembro es el cubo par, o sea
\( 2m(3r+1)=8m^{3}
\)
de donde
\( 2(3r+1)=m^{2}
\)
Ahora bien
\( m=\sqrt{2}\sqrt{3r+1}
\)
\( \sqrt{3r+1}=q\sqrt{2}
\)
donde “q” ha de ser un entero para que “m” pueda serlo; y es claro que \( \sqrt{3r+1}=q\sqrt{2}
\) no puede serlo serlo por la propiedad de cerradura...
Pero \( 4m^{2}=3r+1
\) y entonces \( 2m=\sqrt{3r+1}
\); resultando absurdo, pues “m” no sería entero.
Ya te digo, estará mal, pero ideas nunca faltan, y nunca sabes qué te puedes encontrar; si no la demostración, otra cosa interesante.
No sirve en cualquier caso, porque un número siempre se puede expresar como un múltiplo de 2 más uno de 3, pero he expresado uno como un par y otro como un múltiplo de 3; tendría que haber hecho \( x=2n+3m \) y \( y=2r+3q \) por ejemplo; pero mejor así, porque a lo mejor aprovechas la idea y lo demuestra tú; que me gustaría mucho.Saludos.
