Hola
¡Hola!
Si \( \mu \) es la medida de conteo en \( \mathbb{N} \) y si \( 1\leq{p_1}\leq{p_2}<\infty \) entonces \( Lp_{2}\subset{Lp_1} \) y \( \left\|{f}\right\|_{p_1}\geq{\left\|{f}\right\|_{p_2}} \)
¿Cómo podría demostrarlo?
Pero la inclusión es al revés:
\( L^{p_1}\subset L^{p_2} \)
Previamente supongo que habrás probado que con la medida de contar:
\( \displaystyle\int_{\mathbb{N}}fd\mu=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}f(n) \)
Entonces si \( f\in L^{p_1} \) la serie:
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|f(n)|^{p_1} \)
es convergente y por tanto para \( n \) suficientemente grande \( |f(n)|<1 \). Entonces si \( p_1<p_2 \) se tiene que \( |f(n)|^{p_2}<|f(n)|^{p_1} \) y de ahí es inmediato que \( L^{p_1}\subset L^{p_2} \).
Para la segunda parte ten en cuenta que:
\( \|f\|_{p_2}=\left(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|f(n)|^{p_2}\right)^{1/p_2}=\|f\|_{p_1}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\left|\dfrac{f(n)}{\|f\|_{p_1}}\right|^{p_2}\right)^{1/p_2}\leq
\|f\|_{p_1}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\left|\dfrac{f(n)}{\|f\|_{p_1}}\right|^{p_1}\right)^{1/p_2}=\|f\|_{p_1}\left\|\dfrac{f}{\|f\|_{p_1}}\right\|_{p_1}^{p_1/p_2}=\|f\|_{p_1} \)
Saludos.
