[serpa]

Hola a todos. ¿Alguna sugerencia para probar las siguientes implicaciones?

Sea \( V \) un espacio vectorial sobre \( \mathbb{R} \) y \( \left \{p_j : j\in{\mathbb{N}} \right \} \) una familia de seminormas contable con \( \displaystyle \cap{p_j^{-1}(0)}=\left \{0 \right \} \) y definamos

\( d(x,y)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{2^i}}\displaystyle\frac{p_i(x-y)}{1+p_i(x-y)} \), para todo \( x,y \in{V} \).

He probado que d define una métrica en V invariante bajo traslación, es decir, \( d(a+x,a+y)=d(x,y) \), para todo \( x,y \in{V} \).

Las implicaciones que debo mostrar son las siguientes:

Sea \( (v_n) \) una sucesión en V.

a)  \( (v_n) \) es de Cauchy en \( (V,p_i) \), para todo \( i\in{\mathbb{N}} \), entonces  \( (v_n) \) es de Cauchy en \( (V,d) \).

b)  \( (v_n) \) converge en \( (V,p_i) \) hacia v, para todo \( i\in{\mathbb{N}} \),  si  \( (v_n) \)  converge en \( (V,d) \) hacia v.

[EnRlquE]

Hola serpa.

 Para la parte a. Si fijamos \( \varepsilon>0 \) existe \( N_{1}\in\mathbb{N} \) tal que \( \sum_{i=N_{1}}^{\infty}\frac{1}{2^{i}}\frac{p_{i}(x,y)}{1+p_{i}(x,y)}\leq\sum_{i=N_{1}}^{\infty}\frac{1}{2^{i}}<\varepsilon/2 \) para todo \( x,y\in V. \) Además como las seminormas son Cauchy, para todo \( k\in\{1,2,\dots,N_{1}-1\} \) existe \( M_{k}\in\mathbb{N} \) tal que \( p_{k}(v_{m}-v_{n})<\varepsilon/2 \) cuando \( n,m\geq M_{k}. \) Entonces si tomamos \( M=\max\{M_{k}:\,k=1,2,\dots,N_{1}-1\} \) intenta deducir que \( d(v_{n},v_{m})<\varepsilon \) si \( n,m\geq M. \)

 En la parte b. Intenta usar una estrategia similar a la anterior para mostrar que, fijado \( \varepsilon>0 \), existe \( M\in\mathbb{N} \) tal que \( d(v_{n},v)<\varepsilon \) para todo \( n\geq M. \)

 Si tienes dificultades, pregunta.

Saludos,

Enrique.

[serpa]

Muchas gracias por tu respuesta. Me fue de gran ayuda. Me disculpo por responder ahora. Estuve un poco ocupado.


Saludos.