Autor Tema: Teorema de deducción

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23 Septiembre, 2016, 12:57 pm
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Georg D. Hilbert

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Hola foreros,

tengo una duda respecto al teorema de deducción, si probamos una regla de inferencia, que de \( \alpha \) es consecuencia \( \beta \), y para ello tenemos que generalizar sobre una variable que no está libre en \( \alpha \), entonces si quisiéramos deducir que \( \gamma \rightarrow \phi \) y para ello tuviérmos primero que probar que de \( \gamma \) es consecuencia \( \phi \) (y así luego usar el teorema de deducción), y para esto usáramos la regla de inferencia que hemos probado antes, ¿podría ser que la variable que no está liibre en \( \alpha \), que es respecto de la que hemos generalizado antes, estuviera libre en \( \gamma \) de forma que no pudiéramos aplicar el teorema de deducción?

Espero que se entienda, si no, lo intento explicar de otra forma. El libro "Lógica y teoría de conjuntos" de Ivorra dice que no habría ningún problema para aplicar la regla de inferencia una vez probada, siempre y cuando no se generalice sobre variables libre en las premisas, pero no entiendo porque podemos estar seguros de eso.

Saludos y gracias por leerme como siempre.

23 Septiembre, 2016, 01:20 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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si probamos una regla de inferencia, que de \( \alpha \) es consecuencia \( \beta \), y para ello tenemos que generalizar sobre una variable que no está libre en \( \alpha \), ...

Entonces el teorema de deducción te garantiza que \( \vdash \alpha\rightarrow \beta \).

... entonces si quisiéramos deducir que \( \gamma \rightarrow \phi \) y para ello tuviérmos primero que probar que de \( \gamma \) es consecuencia \( \phi \) (y así luego usar el teorema de deducción), y para esto usáramos la regla de inferencia que hemos probado antes, ...

Eso es lo mismo que probar

\( \alpha\rightarrow \beta, \gamma\vdash \phi \)

sin usar la regla de inferencia, sino tomándola como premisa. Concretamente, cuando en tu deducción tienes \( \alpha \) y pasas a escribir \( \beta \) por la regla de inferencia, con este planteamiento escribes \( \beta \) por Modus Ponens a partir de la primera premisa y de \( \alpha \).

Si en esta deducción no generalizas respecto de variables libres en \( \alpha \), el teorema de deducción te da que

\( \alpha\rightarrow \beta\vdash \gamma\rightarrow \phi \).

Finalmente, de  \( \vdash \alpha\rightarrow \beta \) y \( \alpha\rightarrow \beta\vdash \gamma\rightarrow \phi \) se sigue inmediatamente \( \vdash \gamma\rightarrow \phi \), sin más que encadenar las dos deducciones, sin usar el teorema de deducción ni nada.

¿podría ser que la variable que no está liibre en \( \alpha \), que es respecto de la que hemos generalizado antes, estuviera libre en \( \gamma \) de forma que no pudiéramos aplicar el teorema de deducción?

Si lo planteas a lo bruto, sí, pero si lo planteas como lo acabo de plantear, no se da el caso, porque, como puedes ver, empleo dos veces el teorema de deducción, y las dos respetan sus hipótesis. Si no lo ves, dime cuál de las aplicaciones te parece sospechosa y la discutimos más.

23 Septiembre, 2016, 03:08 pm
Respuesta #2

Georg D. Hilbert

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Vale ya lo veo, aclarado. Muchísimas gracias de verdad. Era una tontería y de alguna forma me he liado.

Saludos. :)