Autor Tema: Grupo fundamental

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02 Octubre, 2016, 05:51 pm
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serpa

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Hola a todos. ¿Alguna sugerencia para el siguiente problema?

Considérese la parametrización del toro dos dimensional

\( \psi(u,v)=\left<{\cos{(u)}(a+b\cos{(v)}),\sin{(u)}(a+b\cos{(v)}),b \sin{(v)}}\right> \),

para \( (u,v)\in{[0,2\pi]\times{[0,2\pi]}} \) y \( a>b>0 \). Defina el lazo

\( \gamma(t):=\psi(pt,qt) \),

para p y q enteros positivos y \( t\in{[0,2\pi]} \). Sea \( K_{p,q} \) la imagen en \( \mathbb{R}^3 \) de \( \gamma \).

Calcule \( \pi_1(\mathbb{R}^3-K_{p,q}) \).

02 Octubre, 2016, 10:25 pm
Respuesta #1

EnRlquE

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Hola serpa.

 En la definición \( \gamma(t)=\psi(pt,qt) \) imagino que hay que usar la regla de correspondencia de \( \psi \) para cualquier \( u,v\geq0, \) porque es posible que \( p \) o \( q \) sean enteros grandes; luego \( pt \) o \( qt \) pueden escaparse del intervalo \( [0,2\pi]. \)

 Asumido esto, nota que al ser \( p,\;q \) enteros positivos, el camino \( \gamma \) es cerrado, pues \( \gamma(2\pi)=\psi(2p\pi,2q\pi)=\psi(0,0)=\gamma(0). \) De hecho podemos suponer que \( p \) y \( q \) no tienen factores en común.
Spoiler
Nota que si \( d \) es el máximo común divisor de \( p \) y \( q \), entonces \( \gamma(0)=\gamma\big(\frac{2\pi}{d}\big)=\gamma\big(2\times\frac{2\pi}{d}\big)=\gamma\big(3\times\frac{2\pi}{d}\big)=\dots=\gamma\big(d\times\frac{2\pi}{d}\big) \) y no hay más puntos en \( [0,2\pi] \) cuya imagen vía \( \gamma \) sea igual a \( \gamma(0). \) De hecho se cumple que \( \gamma(t)=\gamma\big(t+\frac{2\pi}{d}\big) \) para cualquier \( t \) tal que ambos lados de la anterior igualdad tengan sentido. Luego basta suponer que \( p \) y \( q \) son coprimos.
[cerrar]

 La idea para resolver el problema es usar el teorema de Seifert–van Kampen. Previamente tenemos que saber (el que sigue es un ejercicio que deberías tratar de hacer si no lo haz visto antes) que si \( B \) es una bola sólida en \( \mathbb{R}^{3} \) que contiene al toro sólido \( T=D_{2}\times S^{1} \) (donde \( D_{2} \) es el disco del plano centrado en el origen y de radio uno), entonces la diferencia \( R:=B\setminus\text{int}(T) \) es homeomorfa al toro sólido \( T \). En otras palabras, si pegamos dos todos sólidos por su borde podemos obtener una esfera sólida. La intersección de estos toros sólidos es \( S^{1}\times S^{1}. \)

 Entonces, en el problema, observa que si \( B \) es una bola sólida suficientemente grande que contiene al toro donde está \( K_{p,q} \), entonces \( \pi_{1}(\mathbb{R}^{3}\setminus K_{p,q})=\pi_{1}(B\setminus K_{p,q}). \) Llamemos \( T \) y \( R \) a los dos toros sólidos cuya unión es \( B \) y cuya intersección es el toro (homeomorfo a \( S^{1}\times S^{1} \)) que contiene a \( K_{p,q} \). Para usar el teorema de Seifert–van Kampen considera \( B\setminus K_{p,q}=U\cup V \) donde

\( U=T\setminus K_{p,q}\qquad\text{y}\qquad V=R\setminus K_{p,q}. \)

Intenta comprobar que la intersección \( T\cap R \) es homeomorfa a un cilindro. De esta forma tenemos que \( \pi_{1}(U)\simeq\pi_{1}(V)\simeq\pi_{1}(U\cap V)\simeq\mathbb{Z}. \) Trata de terminar y si tienes alguna duda, pregunta.
La respuesta
Te debería resultar \( \pi_{1}(\mathbb{R}^{3}\setminus K_{p,q})=\langle a,b|a^{p}=b^{q}\rangle, \) asumiendo que \( p \) y \( q \) son coprimos.
[cerrar]

Saludos,

Enrique.

Nota: Para el teorema de Seifert-van Kampen se requiere que \( U \) y \( V \) sean abiertos. Una pequeña modificación del argumento de arriba "engordando" \( K_{p,q} \) y los bordes del los toros \( T \) y \( R \) nos permite satisfacer esta condición de modo que la idea expuesta más arriba no cambie.

04 Octubre, 2016, 03:11 am
Respuesta #2

serpa

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Hola nuevamente Enrique.
En la definición \( \gamma(t)=\psi(pt,qt) \) imagino que hay que usar la regla de correspondencia de \( \psi \) para cualquier \( u,v\geq0, \) porque es posible que \( p \) o \( q \) sean enteros grandes; luego \( pt \) o \( qt \) pueden escaparse del intervalo \( [0,2\pi]. \)

¿Regla de correspondencia?  ???

Asumido esto, nota que al ser \( p,\;q \) enteros positivos, el camino \( \gamma \) es cerrado, pues \( \gamma(2\pi)=\psi(2p\pi,2q\pi)=\psi(0,0)=\gamma(0). \) De hecho podemos suponer que \( p \) y \( q \) no tienen factores en común.
Spoiler
Nota que si \( d \) es el máximo común divisor de \( p \) y \( q \), entonces \( \gamma(0)=\gamma\big(\frac{2\pi}{d}\big)=\gamma\big(2\times\frac{2\pi}{d}\big)=\gamma\big(3\times\frac{2\pi}{d}\big)=\dots=\gamma\big(d\times\frac{2\pi}{d}\big) \) y no hay más puntos en \( [0,2\pi] \) cuya imagen vía \( \gamma \) sea igual a \( \gamma(0). \) De hecho se cumple que \( \gamma(t)=\gamma\big(t+\frac{2\pi}{d}\big) \) para cualquier \( t \) tal que ambos lados de la anterior igualdad tengan sentido. Luego basta suponer que \( p \) y \( q \) son coprimos.
[cerrar]
Entendido.



La idea para resolver el problema es usar el teorema de Seifert–van Kampen. Previamente tenemos que saber (el que sigue es un ejercicio que deberías tratar de hacer si no lo haz visto antes) que si \( B \) es una bola sólida en \( \mathbb{R}^{3} \) que contiene al toro sólido \( T=D_{2}\times S^{1} \) (donde \( D_{2} \) es el disco del plano centrado en el origen y de radio uno), entonces la diferencia \( R:=B\setminus\text{int}(T) \) es homeomorfa al toro sólido \( T \). En otras palabras, si pegamos dos todos sólidos por su borde podemos obtener una esfera sólida. La intersección de estos toros sólidos es \( S^{1}\times S^{1}. \)

 Entonces, en el problema, observa que si \( B \) es una bola sólida suficientemente grande que contiene al toro donde está \( K_{p,q} \), entonces \( \pi_{1}(\mathbb{R}^{3}\setminus K_{p,q})=\pi_{1}(B\setminus K_{p,q}). \) Llamemos \( T \) y \( R \) a los dos toros sólidos cuya unión es \( B \) y cuya intersección es el toro (homeomorfo a \( S^{1}\times S^{1} \)) que contiene a \( K_{p,q} \). Para usar el teorema de Seifert–van Kampen considera \( B\setminus K_{p,q}=U\cup V \) donde

\( U=T\setminus K_{p,q}\qquad\text{y}\qquad V=R\setminus K_{p,q}. \)


Se me dificulta mucho ver geométricamente lo que afirmas ¿Tienes algún libro o sitio donde haya algún dibujo de la situación?

En todo caso, muchisímas gracias por tu gran ayuda.

04 Octubre, 2016, 04:39 am
Respuesta #3

EnRlquE

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Hola serpa.

[...]
¿Regla de correspondencia?  ???
[...]

Sólo me refería a que aunque \( \psi(u,v) \) en principio nos la definen para \( u,v\in[0,2\pi], \) nosotros vamos a usar la expresión que define a \( \psi \) para cualquier \( u,v\geq0 \) porque en general \( pt \) o \( qt \) pueden llegar a ser mayores que \( 2\pi. \)


Citar
[...]
Se me dificulta mucho ver geométricamente lo que afirmas ¿Tienes algún libro o sitio donde haya algún dibujo de la situación?
[...]

 Entiendo, yo creo que la parte más difícil es tener una idea de porqué podemos obtener una esfera cuando pegamos dos toros sólidos por su borde. Sí, es difícil verlo, no detallé más el asunto porque imaginé que podías haberlo visto en clase o en algún ejercicio previo (si no —pensé—, el ejercicio que estamos viendo sería realmente difícil  :D).

 Este resultado recuerdo haberlo visto en algún ejercicio, haberlo discutido con compañeros y profesores en su tiempo y luego haberme enterado de su relación con la fibración de Hopf (si te interesa, en el futuro, podrías buscar información sobre el tema). En este momento no encuentro ningún libro donde traten el caso que nos interesa. Sin embargo googleando un poco he encontrado esta interesante discusión al respecto, ahí se dan algunas formas de obtener el resultado.

 Más que en la prueba te sugiero que pienses en él, es interesante. Para terminar el ejercicio, por el momento puedes aceptar que el complemento de un toro sólido usual en una esfera es homeomorfo a un toro sólido. Con esto en mente trata de darle una repasada a la partición que te propongo de \( B\setminus K_{p,q} \) y si te surge cualquier duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.

04 Octubre, 2016, 02:17 pm
Respuesta #4

serpa

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Muchas gracias. Trataré de terminar. Cualquier duda, la escribo.

Saludos