[Quema]

Hola

Si tengo esta expresión

\( D=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{iC_i}{(1+y)^i}}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{C_i}{(1+y)^i}}} \),

siendo \( C_i,y \) constantes.

a) Hay alguna forma de simplificarlo y hallar una fórmula cerrada.

Y cómo sería la expresión continua, es decir mediante integrales, en lugar de series.

b) Ahora supongamos que \( C_i \) sea una v.a. y me interesara analizar la \( E(D) \), existe alguna manera de simplificarlo. En el artículo que adjunto si tengo

\( X_1,X_2,...,X_n \) i.i.d. entonces \( E(\displaystyle\frac{X_i}{X_1+X_2+...+X_n})=\displaystyle\frac{1}{n} \). Supongamos que \( C_i \) sean i.i.d, puedo explotar esta igualdad para determinar \( E(D) \).

De todas formas, el caso que me interesa interesante es que las \( C_i \) sean dependientes.

Saludos

[EnRlquE]

Hola Quema.

 La expresión que muestras es una suma finita, luego veo difícil expresarla como una integral de Riemann si a eso te refieres. Además, dada la arbitrariedad de las constantes, no veo una fórmula cerrada para \( D \). Algo de intuición del por qué creo que no hay una fórmula cerrada es porque si observamos el denominador, por medio del cambio de variable \( x=\frac{1}{1+y} \), vemos que reducirlo (sólo al denominador) es como querer "reducir" un polinomio arbitrario de grado \( n \) sin término independiente (si eso tuviera algún sentido). Tampoco veo cómo relacionarlo con el artículo que adjuntas. Sin embargo te dejo algunas ideas, tal vez te son útiles.

\( \bullet \) Si definimos el polinomio \( p(X)=\sum_{i=1}^{n}C_{i}X^{i} \) tenemos que \( Xp'(X)=\sum_{i=1}^{n}iC_{i}X^{i}, \) luego \( D=\dfrac{\frac{1}{1+y}p'\big(\frac{1}{1+y}\big)}{p\big(\frac{1}{1+y}\big)}=\dfrac{p'\big(\frac{1}{1+y}\big)}{(1+y)p\big(\frac{1}{1+y}\big)}. \) Esta es una forma compacta de escribir \( D \).

\( \bullet \) Cambiando de enfoque. Si las constantes \( C_{i} \) son positivas y \( 1+y \) también es positivo (como se debería asumir desde el principio para que todos los términos \( (1+y)^{i} \) sean reales), podemos definir la variable aleatoria \( X:\Omega\to\{1,2,\dots,n\} \) con distribución

\( \displaystyle\mathbb{P}[X=k]=\frac{\displaystyle\frac{C_{k}}{(1+y)^{k}}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{C_{i}}{(1+y)^{i}}}. \)

En este caso \( D=\mathbb{E}[X] \).

Saludos,

Enrique.

[Quema]

Hola

Si, el tema es que lo interesante es que los \( C_i \) sean los aleatorios. Digamos, supongamos que tengo solamente \( n=2 \) y \( P(C_1=5)=P(C_1=10)=P(C_2=4)=P(C_2=6)=0.5 \), cómo sería en este caso \( E(D) \).

En el caso determinista me interesaría hallar las mejores cotas de D.

Saludos

PD Para el caso que \( C_i=C \) ya existe una fórmula cerrada, adjunto articulo.

[EnRlquE]

Hola Quema.

 En ese caso no se me ocurre mucho, depende de las particularidades que te interese estudiar. Igual podemos encajar lo que te dije antes en este contexto, pues \( D \) depende de \( C=(C_{1},\dots,C_{n}) \). Si \( C \) es un vector aleatorio, entonces \( D \) será una variable aleatoria. Lo que te dije en el primer punto no cambia, únicamente que ahora el polinomio \( p \) sería aleatorio. Lo mismo sucede en el segundo punto que te propuse, ahora la probabilidad \( \mathbb{P} \) dependería de \( C \), la podemos escribir como \( \mathbb{P}_{C} \) para señalar la dependencia. Luego \( D=\mathbb{E}_{C}[X] \).

 Si queremos determinar la esperanza de \( D \), que denotaremos por \( E[D] \), depende de la distribución que tenga \( C \). Si por ejemplo supiéramos que \( C \) tiene una función de densidad conjunta \( \rho_{C}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R} \) resultaría

\( E[D]=\int_{\mathbb{R}^{n}}D(x_{1},\dots,x_{n})\rho_{C}(x_{1},\dots,x_{n})\,dx_{1}\dots dx_{n}, \)

Y reducir esto depende quién sea \( \rho_{C}. \) También podríamos escribir una expresión análoga en el caso que \( C \) fuera una variable discreta. Pero bueno, estas no son más que formas de reescribir lo que planteas y puede que ya las hayas considerado. Sin más consideraciones que nos ayuden a simplificar las cosas no veo cómo reducir la expresión. Por ejemplo en el artículo que adjuntas al ser toas las variables \( C_{i} \) iguales, básicamente se usa la identidad \( \frac{1-x^{n+1}}{1-x}=1+x+\dots+x^{n} \) y su derivada (más o menos como te indiqué en el primer punto), para escribir \( D \) (y por tanto su esperanza) de una forma más reducida.

Saludos,

Enrique.