Autor Tema: Retracciones

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27 Septiembre, 2016, 03:41 am
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serpa

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Hola. Solicito ayuda para lo siguiente .Demuestre que no existen retacciones \( r:X\longrightarrow{A} \)en los siguientes casos:

1. \( X=D^2\vee D^2 \) con \( A=S^1\times{S^1} \).
2. \( X \) un disco con dos puntos en su frontera y \( A=S^1\vee S^1 \).
3. \( X \) la banda de mobius y \( A \) su frontera circular.

27 Septiembre, 2016, 05:56 am
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola serpa.

Veamos:

 En 1, no me queda claro cómo es que podemos incluir al toro \( S^{1}\times S^{1} \) en \( D^{2}\vee D^{2} \) (estoy suponiendo que \( D^{2} \) es un disco del plano incluyendo su borde) ¿no habrás querido escribir \( A=S^{1}{\color{blue}\vee} S^{1} \)? Si este fuera el caso, observa que al restringir \( r:X\to A \) a uno de los discos obtenemos un retrato \( r|_{D^{2}}:D^{2}\to S^{2} \), que no existe.

 En 2 me parece que quieres decir que \( X \) es un disco con dos puntos en su frontera identificados, es decir, \( X \) es el resultado de "pegar" dos puntos de la frontera de un disco. Si este fuera el caso, de existir un retrato \( r:X\to A \) existiría un morfismo sobreyectivo \( r_{*}:\pi_{1}(X)\to\pi_{1}(A). \) Pero \( \pi_{1}(X)=\mathbb{Z} \) y \( \pi_{1}(A) \) es el grupo libre generado por dos elementos, \( \mathbb{Z}*\mathbb{Z} \), y tal epimorfismo no existe.

 Para 3, si suponemos que existe una retracción \( r:X\to A \), igual que antes, tendremos un epimorfismo de grupos \( r_{*}:\pi_{1}(M)\to\pi_{1}(A). \) Ambos grupos fundamentales son isomorfos a \( \mathbb{Z} \), pero puedes comprobar (te sugiero que hagas un buen gráfico para convencerte) que \( r_{*}(2)=1. \) Esto no puede ser ya que en este caso \( r_{*}(1)+r_{*}(1)=1 \) es un absurdo.

Trata de completar los detalles y si tienes dificultades, pregunta.

Saludos,

Enrique.

27 Septiembre, 2016, 02:12 pm
Respuesta #2

serpa

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Hola Enrique. Muchas gracias nuevamente por tu respuesta. Exactamente, ¿a que hace referencia esto \( S^1\vee S^1 \), o mejor dicho a que hace referencia el símbolo \( \vee \) ?

27 Septiembre, 2016, 02:38 pm
Respuesta #3

EnRlquE

  • Lathi
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Hola serpa.

 Si tenemos dos espacios topológicos \( S \) y \( T \) y los puntos \( x_{0}\in S \), \( y_{0}\in T \), su suma punteada \( S\vee T \) se define como el cociente \( S\sqcup T/\sim \), donde estamos identificando \( x_{0} \) con \( y_{0} \). En concreto la relación \( \sim \) se define como \( x\sim y \) si \( x=y\in S\sqcup T \) o si \( x=x_{0} \) e \( y=y_{0} \). Intuitivamente quiere decir que estamos "pegando" los espacios \( S \) y \( T \) haciendo que los puntos \( x_{0} \) y \( y_{0} \) sean uno solo. Puedes leer algo más de espacios cocientes a partir de la página 29 de este libro (la suma punteada es mencionada en el ejemplo de la página 30).

 En nuestro caso particular \( S^{1}\vee S^{1} \) es el resultado de pegar dos circunferencias con el procedimiento que acabamos de ver, vendría a ser una especie de figura \( 8. \)

Saludos.

Enrique.

02 Octubre, 2016, 05:33 pm
Respuesta #4

serpa

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Muchas gracias Enrique.