Autor Tema: Grupo fundamental trivial

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25 Septiembre, 2016, 06:20 pm
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serpa

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Hola a todos. Pido alguna sugerencia para mostrar el siguiente ejercicio:

Si X es un espacio topológico y toda aplicación \( S^1\longrightarrow{X} \) se extiende a una aplicación \( D^2\longrightarrow{X} \), entonces \( \pi_1(X,x_0)=0 \), para todo \( x_0\in{X} \).


25 Septiembre, 2016, 07:22 pm
Respuesta #1

EnRlquE

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Hola serpa.

 Supongamos que tenemos el camino (continuo) cerrado \( \alpha:S^{1}\to X \) tal que \( \alpha(p)=x_{0} \) para cierto \( p\in S^{1} \). Por hipótesis existe una extensión \( f:D^{2}\to X \) de \( \alpha \). Intenta comprobar que la aplicación definida por \( \displaystyle H(x,t)=f\big(tp+(1-t)x\big) \) para todo \( x\in S^{1} \) y todo \( t\in[0,1] \) define una homotopía entre \( \alpha \) y el camino constante igual a \( x_{0} \). Si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

25 Septiembre, 2016, 07:28 pm
Respuesta #2

serpa

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Supongamos que tenemos el camino (continuo) cerrado \( \alpha:S^{1}\to X \)
¿es posible definir caminos que no tengan dominio un intervalo?

25 Septiembre, 2016, 08:08 pm
Respuesta #3

EnRlquE

  • Lathi
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Hola serpa.

 Si tenemos una función \( \alpha:[0,1]\to X \) tal que \( \alpha(0)=\alpha(1) \), podemos definir la aplicación \( \tilde{\alpha}:S^{1}\to X \) por \( \tilde{\alpha}(e^{t2\pi i})=\alpha(t) \) para todo \( t\in[0,1] \). Puedes verificar que \( \alpha \) es continua si y sólo si \( \tilde{\alpha} \) es continua. De hecho esta asociación define una biyección entre los caminos cerrados \( \alpha:[0,1]\to X \) y las funciones continuas \( \tilde{\alpha}:S^{1}\to X \). Esto quiere decir que un camino cerrado en un espacio \( X \) puede ser visto como una función continua \( \alpha:[0,1]\to X \) tal que \( \alpha(0)=\alpha(1) \) o bien como una función continua \( \tilde{\alpha}:S^{1}\to X \), ambos puntos de vista son equivalentes. En mi anterior mensaje usé el segundo porque facilita la escritura.

Saludos,

Enrique.

25 Septiembre, 2016, 08:29 pm
Respuesta #4

serpa

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Muchas gracias Enrique.