Hola
Hola. Me ha surgido una duda a lo largo de un ejercicio. Si \( X \) es un espacio topológico y \( f:S^1\longrightarrow{X} \) es una aplicación continua, ¿es \( f(S^1) \) un camino cerrado en \( X \)?
Gracias
Sólo un matiz a esta cuestión.
La respuesta dada por Samir Majaiti es impecable si entendemos que por camino cerrado en \( X \), nos referimos a un conjunto cerrado (complementario de abierto) en \( X \).
Ahora en el contexto de la topología algebraica, por camino cerrado en un espacio topológico \( X \), suele entenderse una aplicación continua \( \alpha:[0,1]\longrightarrow{}X \) (eso sería simplemente un camino) tal que \( \alpha(0)=\alpha(1) \) (de aquí cerrado: termina donde empezó).
Entonces en ese sentido es equivalente dar una aplicación continua \( S^1\longrightarrow{}X \) que un camino cerrado (con la definición anterior). Esto lo explicó EnRiquE
aquí:
Si tenemos una función \( \alpha:[0,1]\to X \) tal que \( \alpha(0)=\alpha(1) \), podemos definir la aplicación \( \tilde{\alpha}:S^{1}\to X \) por \( \tilde{\alpha}(e^{t2\pi i})=\alpha(t) \) para todo \( t\in[0,1] \). Puedes verificar que \( \alpha \) es continua si y sólo si \( \tilde{\alpha} \) es continua. De hecho esta asociación define una biyección entre los caminos cerrados \( \alpha:[0,1]\to X \) y las funciones continuas \( \tilde{\alpha}:S^{1}\to X \). Esto quiere decir que un camino cerrado en un espacio \( X \) puede ser visto como una función continua \( \alpha:[0,1]\to X \) tal que \( \alpha(0)=\alpha(1) \) o bien como una función continua \( \tilde{\alpha}:S^{1}\to X \), ambos puntos de vista son equivalentes. En mi anterior mensaje usé el segundo porque facilita la escritura.
Saludos.
