Autor Tema: Imagen de aplicaciones continuas en la circunferencia

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24 Septiembre, 2016, 11:39 pm
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serpa

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Hola. Me ha surgido una duda a lo largo de un ejercicio. Si \( X \) es un espacio topológico y \( f:S^1\longrightarrow{X} \) es una aplicación continua, ¿es \( f(S^1) \) un camino cerrado en \( X \)?

Gracias

24 Septiembre, 2016, 11:58 pm
Respuesta #1

Samir M.

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La imagen \( f(S^1) \) no es necesariamente un subconjunto cerrado de \( X \), suponiendo que \( X \) no es hausdorff (pues de serlo \( f(S^1) \) sería compacto, y por tanto, cerrado).

Saludos.

Edito: había puesto en ejemplo editando este mensaje pero lo añado al final como una nueva respuesta dada mi tardanza.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

25 Septiembre, 2016, 12:04 am
Respuesta #2

serpa

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Hola. Gracias por responder. ¿Podrías ser más específico mostrando un ejemplo?

25 Septiembre, 2016, 12:09 am
Respuesta #3

Samir M.

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Se me ocurrió este ejemplo tonto: sea \( X = \{0,1\} \) con la topología indiscreta, y sea \( f:S^1 \to X \) una aplicación continua, tal que \( f(x) = 0 \, \forall x \in S^1 \).

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

25 Septiembre, 2016, 06:14 pm
Respuesta #4

serpa

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26 Septiembre, 2016, 09:53 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hola. Me ha surgido una duda a lo largo de un ejercicio. Si \( X \) es un espacio topológico y \( f:S^1\longrightarrow{X} \) es una aplicación continua, ¿es \( f(S^1) \) un camino cerrado en \( X \)?

Gracias

Sólo un matiz a esta cuestión.

La respuesta dada por Samir Majaiti es impecable si entendemos que por camino cerrado en \( X \), nos referimos a un conjunto cerrado (complementario de abierto) en \( X \).

Ahora en el contexto de la topología algebraica, por camino cerrado en un espacio topológico \( X \), suele entenderse una aplicación continua \( \alpha:[0,1]\longrightarrow{}X \) (eso sería simplemente un camino) tal que \( \alpha(0)=\alpha(1) \) (de aquí cerrado: termina donde empezó).

Entonces en ese sentido es equivalente dar una aplicación continua \( S^1\longrightarrow{}X \) que un camino cerrado (con la definición anterior). Esto lo explicó EnRiquE aquí:

Si tenemos una función \( \alpha:[0,1]\to X \) tal que \( \alpha(0)=\alpha(1) \), podemos definir la aplicación \( \tilde{\alpha}:S^{1}\to X \) por \( \tilde{\alpha}(e^{t2\pi i})=\alpha(t) \) para todo \( t\in[0,1] \). Puedes verificar que \( \alpha \) es continua si y sólo si \( \tilde{\alpha} \) es continua. De hecho esta asociación define una biyección entre los caminos cerrados \( \alpha:[0,1]\to X \) y las funciones continuas \( \tilde{\alpha}:S^{1}\to X \). Esto quiere decir que un camino cerrado en un espacio \( X \) puede ser visto como una función continua \( \alpha:[0,1]\to X \) tal que \( \alpha(0)=\alpha(1) \) o bien como una función continua \( \tilde{\alpha}:S^{1}\to X \), ambos puntos de vista son equivalentes. En mi anterior mensaje usé el segundo porque facilita la escritura.

Saludos.