Autor Tema: ¿Cómo hallar el exponente en una ecuación?

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15 Septiembre, 2016, 02:36 am
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Tachikomaia

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Acabo de ver 3 videos y ninguno me aclaró.

Supongamos que tengo 2^X=32. Supongo que haciendo:
Código: [Seleccionar]
Resultado = 32
Base = 2
Exponente = 1
Repetir:
   Resultado = Resultado/2
   Exponente = Exponente+1
Mientras que Resultado > Base
...lo hallaría. Pero quiero saber una forma más rápida y posiblemente exacta de hacerlo. En este video:
https://www.youtube.com/watch?v=-1yykqXOgDE
...el youtuber no halla el exponente, sólo llega a plantearla con logaritmos niperianos que no sé qué son. Buscaré porque quiero saber cómo funciona eso, no quiero simplemente usar una operación en una calculadora o lo que sea, sin saber cómo funciona dicha operación. Recuerdo que me fastidié en algunos ejercicios de física porque enseñaban a resolverlos con calculadora científica (que yo no tenía), no de la forma natural.

Este es un subtema en el otro tema que hice y que está activo, lamento la repetición, pero esto es una duda mucho más concreta.

Gracias.

15 Septiembre, 2016, 03:50 am
Respuesta #1

sugata

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Los logaritmos son la inversa de las exponenciales.

Si \( a^x=y \)
Entonces \( log_a{y}=x \) Se lee logaritmo en base a de y es igual a x

En tu caso \( log_2 {32}=x \)

Mediante cambios de base (la base es el subíndice del logaritmo) podemos calcularlo con cualquier calculadora científica.
Las bases más usadas son la decimal y la neperiana, esta última es en base e.

Antiguamente se usaban tablas de papel donde se buscaban, actualmente ese trabajo lo hace una calculadora. Es como ponerte a hacer una raíz cuadrada de un número grande, es tedioso, para eso están las calculadoras.

15 Septiembre, 2016, 12:19 pm
Respuesta #2

Michel

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Creo que la forma más sencilla de resolver esta ecuación es expresar 32 como potencia de 2 de exponente natural, olvidándose de momento de logaritmos.

Inténtalo y después hablamos.

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

15 Septiembre, 2016, 12:23 pm
Respuesta #3

feriva

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Hola.

No es por ser pesado, pero, una vez más, en Python el código de los logaritmos es sumamente simple de escribir :)

Como ya te ha dicho Sugata, si tienes una ecuación \( a^{x}=y
  \), conociendo los valores de “a” y de “y”, entonces se puede hallar “x” mediante el logartimo en una cierta base

Citar

...el youtuber no halla el exponente, sólo llega a plantearla con logaritmos niperianos que no sé qué son


Esto \( log(b)=c
  \), escrito así, dice que hay números (si existe la posibilidad según los valores de “a” y “b”) tales que si los elevamos a “c” nos dan “b”; simplemente eso.

Y esos números son muchos, y se llaman bases. La base más usual, que se sobreentiende si no se decie nada, es el número “e”, que viene definido de la forma más habitual como el valor de \( (1+\dfrac{1}{n})^{n}
  \) cuando “n” es un número enorme no definido. Pero aunque no esté definido, si damos un valor muy grande a “n”, la fórmula nos dará un valor con muchas cifras (las primeras) que son de verdad decimales del número “e” (con el 2 que va antes de la coma) y como para operar nos vale tomar aproximaciones con unos cuantos decimales, podemos usar cualquier aproximación en la práctica par hallar el valor que sea; por ejemplo, el de esa “x” de la potencia.

Tomemeos el valor de “e” (que es la base de lo que se llama logaritmo neperiano) con cuatro decimales, por ejemplo, entonces: \( {\color{blue}e=2,7182}
  \).

Por lo que decía, de aquí \( log(b)=c
  \), en base “e” esto quiere decir esto:

\( 2,7182^{c}=b
  \)

Si tenemos, ya con números, \( log(5)
  \), y queremos saber su valor, lo que se nos plantea, por lo dicho, es esta pregunta: ¿a qué número hay que elevar \( 2,7182 \) para que nos dé 5?; lo cual podemos escribir como la ecuación

\( 2,7182^{c}=5
  \)

donde se trata de hallar “c” (o “x” o la letra que queramos poner).

Del mismo modo que cuando tenemos una igualdad, la que sea, \( 3=3
  \), si multiplicamos, sumamos, elevamos... la expresión a los dos lados, la igualdad se mantiene (por ejemplo, \( 3+k=3+k
  \)) también se mantiene si hallamos la función logaritmo a ambos lados:

\( log\,2,7182^{c}=\log\,5
  \)

Esto es evidente, porque \( 2,7182^{c}
  \) y \( 5
  \) es lo mismo escrito de otra manera, así que el logaritmo de una cosa es igual al logaritmo o lo que sea de la otra (porque es la misma cosa, sólo cambia la forma de expresarla).

Como te decía Sugata, esto \( \log\,5
  \), lo tienes que hallar con la calculadora científica, o bien hallarlo buscando en las tablas de Vázquez Queipo (que así se llamaban) o bien con una regla de cálculo (que tampoco se usan ya). Pasa como las funciones trigonométricas, seno, coseno... las hallas con calculadora (antiguamente también se hallaban con la regla de cálculo o con esas tablas).

Si lo hacemos, nos da \( \log\,5=1,6094
  \) (tomo cuatro decimales también, puedo tomar los que quiera según la precisión que necesite).

Y sustituimos en la ecuación

\( log\,2,7182^{c}=1,6094
  \)

Lo que sigue es que se demuestra que \( log\,2,7182^{c}=c\cdot log\,2,7182
  \); y quieres saber cómo funciona esto, por qué es cierto, no sólo conocerlo como una receta.

Bien, pues, como se ha dicho, si tenemos en base “e” \( log(a)=b
  \) esto quiere decir \( e^{b}=a
  \); entonces, si tuviéramos \( log\, a{}^{x}
  \), sustituyendo “a” por \( e^{b}
  \) tienes

\( log\, a{}^{x}=log(e^{b})^{x}
  \) que por las reglas normales de las potencias, éstas se multiplican y es \( log\, a{}^{x}=log \, e^{xb}
  \)

Spoiler

Con cualquier ejemplo básico lo compruebas \( (2^{3})^{2}=(2^{3})(2^{3})=2^{6}=2^{3\cdot2}
  \)

[cerrar]

donde \( log\, e^{xb}
  \), como ya he dicho, pregunta ¿a qué número hay que elevar la base “e” para que nos dé \( e^{xb}
  \)?, siendo la respuesta a esa pregunta el valor de \( log\,e^{xb}
  \); y la respuesta es obvia, pues el número al que hay que elevar “e” es \( xb
  \), por tanto, sustituimos en la igualdad

\( log\, a{}^{x}=xb
  \)

y teníamos que \( log(a)=b
  \), así pues, sustituyendo

\( log\, a{}^{x}=x\cdot log(a)
  \)

Y queda demostrado.

Volviendo a la ecuación, entonces

\( log\,2,7182^{c}=1,6094
  \) es lo mismo que

\( c\cdot log\,2,7182=1,6094
  \)

despejando

\( c=\dfrac{1,6094}{log\,2,7182}
  \)

Ahora, con la calculadora o el ordenador o las tablas o lo que sea, hallamos \( log\,2,7182
  \), pero en este caso el resultado es obvio y no hace falta, porque 2,7182... es el número “e”, la base, entonces ¿a qué número hay que elevar la base par que nos dé la base? Pues a 1, evidentemente, por tanto

\( c=\dfrac{1,6094}{1}=1,6094
  \)

Saludos.

18 Septiembre, 2016, 04:34 pm
Respuesta #4

Tachikomaia

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sugata:
He pensado en aprender a hacer que el programa sume sin usar el método ya incluído en las computadoras... Si no hice eso entonces difícilmente podré hacerlo con logaritmos, pero bue, no quisiera tener que llegar a eso. Buen ejemplo el de las raíces cuadradas. Pero wow... ¿revisar tablas especiales? ¿usar calculadora? Es como que no puedo creer que hagan eso.

Creo que la forma más sencilla de resolver esta ecuación es expresar 32 como potencia de 2 de exponente natural, olvidándose de momento de logaritmos.

Inténtalo y después hablamos.
Quisiera pero no entiendo qué me estás planteando.

Hola.

No es por ser pesado, pero, una vez más, en Python el código de los logaritmos es sumamente simple de escribir :)
Estoy dando tantas vueltas que a estas alturas poco importa el programa que use. De hecho el punto crítico es (creo) hacer que mis programas puedan generar archivos que contengan variables, o sea, exteriorizar datos de esa forma de modo que se puedan cargar más tarde. En ese sentido Python me resultó más molesto que el comando oculto "save" de Flash.
Pero esto de hallar ecuaciones por ahora es algo que puede estar por fuera, aparte, no tiene por qué ser con Flash.
Pero no quiero seguir luchando con Python:
http://www.forosdelweb.com/f130/aprendiendo-python-1138241/

Hasta ahora no he visto las funciones que Flash tenga, como dije quería entender qué estaría haciendo si las usara...

A ver...
Código: [Seleccionar]
Math.log(x);

Argumentos
x Un número o expresión con un valor mayor que 0.

Descripción
Método; devuelve el logaritmo natural del argumento x.
No entiendo, el log no eran 3 números?
Ejemplo:
Si pongo:
A = Math.log ( 9 );
luego A = 2.19722457733622
¿Qué hizo?

También tiene estas funciones que no sé si tienen mucho que ver:
Código: [Seleccionar]
LN2
El logaritmo natural de 2 (aproximadamente 0, 693).

LOG2E
El logaritmo en base 2 de e (aproximadamente 1,442).

LN10
El logaritmo natural de 10 (aproximadamente 2, 302).

LOG10E
El logaritmo en base 10 de e (aproximadamente 0,434).

Y esta (idem):
Código: [Seleccionar]
Math.exp(x);

Argumentos
x El exponente; un número o expresión.

Descripción
Método; devuelve el valor de la base del logaritmo natural (e), a la potencia del exponente especificado en el argumento x. La constante Math.E puede proporcionar el valor de e.
Lamentablemente las descripciones de las funciones no incluyen ejemplos así que se me complica más entenderlas. Pero bueno, creo que es otra cuestión.

Citar
Esto \( log(b)=c
  \), escrito así, dice que hay números (si existe la posibilidad según los valores de “a” y “b”) tales que si los elevamos a “c” nos dan “b”; simplemente eso.
A mí me confunde un poco porque no tiene la a. Más adelante dices que se sobreentiende, pero yo recién empiezo.

Aclaras varias cosas luego, pero uf, qué complicado parece. Quisiera ir con un profesor particular o algo, que me lo explique en varias clases xD
Una duda, quizá muestra de que no entendí, no sé: Si siempre daré 2 números y la incógnita (ej 2^X=32 <--> log en base 2 de 32 = X) ¿puedo obviar el tema de la E o tengo que llegar a entenderlo?
Perdona pero no leí todo tu post, es que ya con lo que leí me enredé mucho.

Resumiendo, si tengo A^B = C, entonces tengo log en base A de C = B
y para calcular B necesitaría usar la calculadora o unas tablas antiguas. ¿Algo más que deba saber?

Me gustaría entender la función de Flash que puse más arriba. Y me gustaría ver las tablas antiguas.

18 Septiembre, 2016, 05:13 pm
Respuesta #5

feriva

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Hola, Tachikomaia
Citar
Si pongo:
A = Math.log ( 9 );
luego A = 2.19722457733622
¿Qué hizo?

Darte el logaritmo en base “e”; es decir, te dice que

\( e^{2.19722457733622}=9 \)

donde “e”, como te dije, es el valor 2.71828 (o con más decimales).

Citar
Una duda, quizá muestra de que no entendí, no sé: Si siempre daré 2 números y la incógnita (ej 2^X=32 <--> log en base 2 de 32 = X) ¿puedo obviar el tema de la E o tengo que llegar a entenderlo?

Puedes trabajar en base 2 o la que quieras, sí; pero si entiendes una cosa entiendes la otra, lo que ocurre es que al ser 2 un entero se pueden poner ejemplos que son más fáciles de ver:

\( log_{2} 8 \)

\( log_{2}8 \)
 

Ese 2 pequeñito es la base (no es 28, es logaritmo de 8 en base 2); a veces no se pone y se dice de palabra; y, ya te digo, si no se dice nada se suele entender base “e”.

Es decir, es pregunta ¿a qué número hay que elevar 2 (o sea, la base en este caso) para que sea 8. Y es un ejemplo muy fácil, a 3; entonces la contestación a esta pregunta es lo que vale eso, es decir:

\( log_{2}8=3 \)
 

Con “e” es exactamente lo mismo, pero la operación es mucho más difícil de ver.

Nunca he usado Flash para cosas de matemáticas, sólo para jueguecitos, y no te puedo decir exactamente cómo se usan esos comandos; lo intentaré investigar y si eso te cuento.

En cualquier caso, existe una forma de convertir un logaritmo neperiano a uno en otra base, en base 2, por ejemplo:

\( log_{2}X=\dfrac{log_{e}X}{log_{e}2}
  \)

Con un ejemplo y los números de antes

\( log_{2}8=\dfrac{log_{e}8}{log_{e}2}=3
  \)

es decir, es muy fácil, con el de 9 que ponías, para pasarlo a base 2 simplemente tienes que darle esta operación

Math.log ( 9 )/Math.log ( 2 )

No hay que poner la base “e” porque ya la usa él sin que le digan nada, con escribir eso te vale; y te dará \( 3.169925 \), o con más decimales; pero con éstos nos vale para ver que es verdad elevando 2 a este número y viendo que nos da 9 o casi nueve

\( 2^{3.169925}=8.9999...
  \) o sea, nueve; porque infinitos nueves en los decimales es 1 (también tiene esto su explicación matemática, pero lo dejo ahora).

Saludos.

18 Septiembre, 2016, 05:33 pm
Respuesta #6

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Hola
Yo de informática ni idea, solo te quería explicar lo que no entendías de los logaritmos neperianos.
Feriva te lo ha explicado muy bien.
Respecto a \( exp(x) \) Lo que te devuelve es \( e^x \)
Es decir, si pones \( exp(2) \) Te devuelve \( e^2 \)