Autor Tema: Introductor generalizador, varias variables

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30 Agosto, 2016, 11:33 pm
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alexpglez

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Releyendo la explicación de Carlos Ivorra sobre la eliminación del particularizador veo que me quedan algunas dudas sobre la generalización de las variables.

1) Supongamos que tenemos como premisas [texx] y=2 [/texx] y [texx] \neg x=2 [/texx].
Llego, usando "mi" interpretación sobre la introducción del generalizador a una contradicción. Por IG a la segunda premisa [texx] \forall x \; \neg x=2 [/texx], si eliminamos el generalizador [texx] S_x^y \neg x=2 [/texx], [texx] \neg y=2 [/texx], pero esto entra en contradicción con la primera premisa. ¿Hay algo que me estoy perdiendo y no estoy haciendo bien?

2) ¿Por qué no se añade el esquema axiomático: [texx] \vdash \alpha \rightarrow \forall x \alpha [/texx] que junto a MP es equivalente a IG, o es que hay algo incorrecto que se puede demostrar con este axioma?

3) Volviendo a la eliminación del particularizador, ¿por qué no puedo reutilizar variables anteriores, libres en alguna premisa o fórmula deducida anteriormente?

Gracias, saludos.








31 Agosto, 2016, 12:21 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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1) Supongamos que tenemos como premisas [texx] y=2 [/texx] y [texx] \neg x=2 [/texx].
Llego, usando "mi" interpretación sobre la introducción del generalizador a una contradicción. Por IG a la segunda premisa [texx] \forall x \; \neg x=2 [/texx], si eliminamos el generalizador [texx] S_x^y \neg x=2 [/texx], [texx] \neg y=2 [/texx], pero esto entra en contradicción con la primera premisa. ¿Hay algo que me estoy perdiendo y no estoy haciendo bien?

No estás haciendo nada mal. Llegas a una contradicción porque tus premisas son contradictorias. Una fórmula con una variable libre es semánticamente equivalente (por convenio) a la fórmula que resulta de ligar todas las variables con generalizadores. Estás suponiendo que todo y es 2 y que todo x es distinto de 2. Eso es contradictorio y tu deducción así lo pone de manifiesto.

2) ¿Por qué no se añade el esquema axiomático: [texx] \vdash \alpha \rightarrow \forall x \alpha [/texx] que junto a MP es equivalente a IG, o es que hay algo incorrecto que se puede demostrar con este axioma?

Entonces, en un lenguaje que tenga una constante 0, la fórmula \( x=0\rightarrow \forall x(x=0) \) sería un axioma, al igual que

\( (x=0\rightarrow \forall x(x=0))\rightarrow \forall x(x=0\rightarrow \forall x(x=0)) \)

luego MP nos daría \( \forall x(x=0\rightarrow \forall x(x=0)) \) de donde podríamos eliminar el generalizador para llegar a \( 0=0\rightarrow \forall x (x=0) \) y, como \( 0=0 \) es un teorema lógico, por MP \( \forall x(x=0) \) y así habríamos "demostrado" que todo es igual a 0.

3) Volviendo a la eliminación del particularizador, ¿por qué no puedo reutilizar variables anteriores, libres en alguna premisa o fórmula deducida anteriormente?

No sé a qué te refieres con "reutilizar". Lo que no puedes es generalizar respecto de esas variables. Por ejemplo, \( 0=0 \) es un teorema lógico, que, visto como \( S_x^0x=0 \), implica \( \exists x x=0 \), de donde podemos pasar a \( x=0 \) usando EP, pero si nos olvidamos de la restricción que ello conlleva, podríamos pasar a \( \forall x x=0 \), y nuevamente estaríamos negando la existencia a todo lo que no fuera el 0.

En general, todas tus dudas están relacionadas con que el cálculo de primer orden (no en todas sus formulaciones, pero sí en las más habituales) asume el convenio de que \( \alpha \) y \( \forall x\,\alpha \) significan lo mismo, y precisamente porque significan lo mismo no es cierto \( \alpha\rightarrow \forall x\,\alpha \), ya que esto significa lo mismo que \( \forall x(\alpha\rightarrow \forall x\,\alpha) \) que es una barbaridad en general. Por ejemplo, si \( x=0 \) significa que si un cierto x es igual a 0, entonces todo x es igual a 0.

Cuando usas la regla EP, estás rompiendo el convenio de que una variable \( x \) libre signifique "un x arbitrario", pues a partir de ese momento \( x \) es un \( x \) concreto que cumple algo que no tiene por qué cumplir cualquier otro. Y sólo puedes romper el convenio "por defecto" de que las variables son generales si te comprometes a no generalizar respecto de las variables que has particularizado.

31 Agosto, 2016, 01:44 am
Respuesta #2

alexpglez

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3) Volviendo a la eliminación del particularizador, ¿por qué no puedo reutilizar variables anteriores, libres en alguna premisa o fórmula deducida anteriormente?

No sé a qué te refieres con "reutilizar". Lo que no puedes es generalizar respecto de esas variables. Por ejemplo, \( 0=0 \) es un teorema lógico, que, visto como \( S_x^0x=0 \), implica \( \exists x x=0 \), de donde podemos pasar a \( x=0 \) usando EP, pero si nos olvidamos de la restricción que ello conlleva, podríamos pasar a \( \forall x x=0 \), y nuevamente estaríamos negando la existencia a todo lo que no fuera el 0.
Cito de tu libro (Lógica2 67):
"Es muy importante observar que en la deducción de β a partir de las premisas se generaliza respecto de la variable y. Esto significa que si aplicamos EP en un contexto en el que tenemos prohibido generalizar respecto de ciertas variables, debemos elegir la variable y como una nueva variable sobre la que no exista prohibición de generalizar."

Me refería a qué te refieres con generalizar. Entiendo que te refieres a IG pero también añades que si por ejemplo uso EP, ya no puedo usar EP en la misma variable, tengo que usar otra distinta. Aquí lo expresas mejor:
"En la lı́nea 5 eliminamos un particularizador u, y no cambiamos de variable porque no hay problema en generalizar respecto de u. A partir de esa lı́nea tenemos prohibido generalizar respecto de u, por lo que, cuando queremos eliminar el [texx] \exists u [/texx] de la lı́nea 7 nos vemos obligados a sustituir la variable u por una nueva variable v que tiene que ser distinta de x, y, z, u, que son las variables respecto a
las que tenemos prohibido generalizar."

Querría preguntar si tampoco se pueden utilizar otras variables que aparecen anteriormente por ejemplo: [texx] \phi(x), \alpha(y) \vdash \exists x \beta(x) [/texx] y eliminar el particularizador [texx] \beta(x) [/texx] ó [texx] \beta(y) [/texx].

Gracias por las respuestas, entendí el resto bien, gracias.

31 Agosto, 2016, 02:11 am
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Me refería a qué te refieres con generalizar. Entiendo que te refieres a IG pero...

Pero nada: "Generalizar respecto a una variable \( x \)" significa aplicar IG a dicha variable pasando de una fórmula \( \alpha \) a \( \forall x \alpha \)

también añades que si por ejemplo uso EP, ya no puedo usar EP en la misma variable, tengo que usar otra distinta.

Claro, porque cada vez que aplicas EP a una varaible estás usando una "subrutina" que construye una demostración de lo que quieres demostrar usando IG respecto a dicha variable, luego cada uso de EP respecto de una variable lleva escondido un uso de IG respecto de dicha variable. Ten presente que EP no es realmente una regla de inferencia, sino un teorema que te dice que hay un algoritmo que transforma una deducción que cumpla ciertos requisitos en otra deducción de otra cosa, y cada vez que aplicas ese algoritmo (haces un uso de EP respecto de una variable), la demostración que construye el algoritmo usa IG respecto de dicha variable.

Aquí lo expresas mejor:
"En la lı́nea 5 eliminamos un particularizador u, y no cambiamos de variable porque no hay problema en generalizar respecto de u. A partir de esa lı́nea tenemos prohibido generalizar respecto de u, por lo que, cuando queremos eliminar el [texx] \exists u [/texx] de la lı́nea 7 nos vemos obligados a sustituir la variable u por una nueva variable v que tiene que ser distinta de x, y, z, u, que son las variables respecto a
las que tenemos prohibido generalizar."

¿Qué es lo que expreso mejor?

Querría preguntar si tampoco se pueden utilizar otras variables que aparecen anteriormente por ejemplo: [texx] \phi(x), \alpha(y) \vdash \exists x \beta(x) [/texx] y eliminar el particularizador [texx] \beta(x) [/texx] ó [texx] \beta(y) [/texx].

No se pueden usar variables respecto de las que tengas prohibido generalizar. Por ejemplo:

Imagina que tienes \( x=6, y=8 \) y, deduciendo deduciendo, llegas a \( \exists x(x\mbox{ es primo y cumple bla, bla, bla}) \) Obviamente, no puedes pasar de ahí a que \( x \) es primo y bla, bla, bla, ni a \( y \) es primo y bla, bla, bla, porque en ambos casos podrías escribir a continuación que 6 es primo.

Lo que pasa es que nunca llegarás a tener \( x=6 \) en una deducción si no ha sido eliminando un particularizador o bien en una hipótesis para aplicar el teorema de deducción (o una reducción al absurdo, etc.), porque si tuvieras \( x=6 \) sin restricciones, podrías deducir \( \forall x\ x=6 \) y ya estaríamos con la manía de negar la existencia a todo menos una cosa.

Ahora bien, si tú partes, por ejemplo de \( \forall x(x+0=x) \) y eliminas el generalizador para pasar a \( x+0=x \) ahí tienes una variable libre sobre la que no tienes prohibido generalizar. Por lo tanto, si más adelante llegas a que \( \exists x (x \mbox{ es primo y bla, bla, bla} \), no hay problema en que pongas a continuación \( x \) es primo y bla, bla bla. Lo único que pasa entonces es que la fórmula \( x+0=x \), que antes hablaba de un \( x \) arbitrario, ahora ha quedado restringida tontamente a un \( x \) en concreto. Es legítimo, pero no es normal que un matemático haga eso. Lo normal es que cada vez que quitas un particularizador, te asegures de que la variable que pones no haya aparecido nunca libre antes. En parte (obligatorio) para no usar una prohibida, y en parte (opcional) para no reducir el alcance tontamente de fórmulas anteriores en las que la variable era general.

31 Agosto, 2016, 03:42 pm
Respuesta #4

alexpglez

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también añades que si por ejemplo uso EP, ya no puedo usar EP en la misma variable, tengo que usar otra distinta.

Claro, porque cada vez que aplicas EP a una varaible estás usando una "subrutina" que construye una demostración de lo que quieres demostrar usando IG respecto a dicha variable, luego cada uso de EP respecto de una variable lleva escondido un uso de IG respecto de dicha variable. Ten presente que EP no es realmente una regla de inferencia, sino un teorema que te dice que hay un algoritmo que transforma una deducción que cumpla ciertos requisitos en otra deducción de otra cosa, y cada vez que aplicas ese algoritmo (haces un uso de EP respecto de una variable), la demostración que construye el algoritmo usa IG respecto de dicha variable.
Ya entiendo perfectamente: por el teorema de deducción, si yo parto de una hipótesis utilizando una o varias variables, no puedo utilizar EP y llamar a la nueva variable igual que las demás, porque para demostrar una línea posterior que no tuviese las variables el teorema de EP me dice que tengo generalizar sobre esas variables, pero por el teorema de deducción me es imposible hacer el paso anterior y con ello demostrar toda fórmula posterior.
Aquí lo expresas mejor:
"En la lı́nea 5 eliminamos un particularizador u, y no cambiamos de variable porque no hay problema en generalizar respecto de u. A partir de esa lı́nea tenemos prohibido generalizar respecto de u, por lo que, cuando queremos eliminar el [texx] \exists u [/texx] de la lı́nea 7 nos vemos obligados a sustituir la variable u por una nueva variable v que tiene que ser distinta de x, y, z, u, que son las variables respecto a
las que tenemos prohibido generalizar."

¿Qué es lo que expreso mejor?
Mi duda que intentaba explicar antes.

Con la explicación anterior entiendo el resto de tu mensaje, sólo tengo una duda relacionada con IG (parecida a la que escribí al principio del hilo):
En soluciones de sistemas de ecuaciones lineales o en ecuaciones paramétricas de algún cuerpo geométrico o trayectoria y con ello también en muchas situaciones físicas tenemos expresiones como:
[texx] \forall t (x=\phi(t) \wedge y=\delta(t)) [/texx], pero de aquí se demuestra que (EG, EC, IG) [texx] \forall t x=\phi(t) [/texx], si yo utilizo nuevamente IG [texx] \forall x \forall t x=\phi(t) [/texx]. Pero esto es un absurdo ya que EG [texx] \forall t y=\phi(t) [/texx] y de aquí deducimos (EG, TI) que [texx] \forall t \phi(t)=\delta(t) [/texx].

Mientras escribo estas líneas creo que ya he visto el error, igual que el del inicio del hilo: está todo correcto, sólo que no voy a tener la premisa que me propuse como verdadera, si no como caso particular que se cumple con ciertas hipótesis o como hipótesis, y en esos casos como se usa el teorema de deducción, IG es ilegal. En caso contrario, en el que la fórmula anterior fueran premisas "puras", vendrían a significar que "todo x es igual a una función de t", "todo y es igual a otra función de t".

Entiendo ahora la utilidad de trabajar con sentencias en vez de con fórmulas. Ambos métodos son equivalentes, sin embargo trabajar con sentencias queda mucho más claro que con fórmulas, puesto que las sentencias son verdaderas para todo valor de las variables y trabajar con fórmulas hay que preocuparse si las fórmulas que aceptas como premisas son verdaderas para cualquier valor de sus variables o por el contrario sólo son ciertas si se cumple alguna condición de sus variables. Por ejemplo, "Un objeto se mueve por una trayectoria (x,y) entonces [texx] \forall t (x=\phi(t) \wedge y=\delta(t)) [/texx]" o [texx](u \in A \leftrightarrow u \in B) \rightarrow A=B[/texx].

Gracias y saludos.

31 Agosto, 2016, 08:42 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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En soluciones de sistemas de ecuaciones lineales o en ecuaciones paramétricas de algún cuerpo geométrico o trayectoria y con ello también en muchas situaciones físicas tenemos expresiones como:
[texx] \forall t (x=\phi(t) \wedge y=\delta(t)) [/texx], pero de aquí se demuestra que (EG, EC, IG) [texx] \forall t x=\phi(t) [/texx], si yo utilizo nuevamente IG [texx] \forall x \forall t x=\phi(t) [/texx]. Pero esto es un absurdo ya que EG [texx] \forall t y=\phi(t) [/texx] y de aquí deducimos (EG, TI) que [texx] \forall t \phi(t)=\delta(t) [/texx].

No sé si te das cuenta de que [texx] \forall t (x=\phi(t) \wedge y=\delta(t)) [/texx] (incluso si tienes prohibido generalizar respecto de \( x \)) implican que \( \phi(t) \) y \( \delta(t) \) son constantes (no dependen de \( t \)) pues para cualquier \( t \) el resultado es siempre \( x \) e \( y \), respectivamente. Así que sospecho que esas fórmulas no representan lo que pretendes representar.

Entiendo ahora la utilidad de trabajar con sentencias en vez de con fórmulas. Ambos métodos son equivalentes, sin embargo trabajar con sentencias queda mucho más claro que con fórmulas, puesto que las sentencias son verdaderas para todo valor de las variables y trabajar con fórmulas hay que preocuparse si las fórmulas que aceptas como premisas son verdaderas para cualquier valor de sus variables o por el contrario sólo son ciertas si se cumple alguna condición de sus variables.

Depende de lo que entiendas por "trabajar". Al demostrar cosas a partir de unos axiomas, aunque sean sentencias, es necesario eliminar cuantificadores y tratar con fórmulas con variables libres, aunque al final la conclusión vuelva a ser una sentencia.

Por ejemplo, "Un objeto se mueve por una trayectoria (x,y) entonces [texx] \forall t (x=\phi(t) \wedge y=\delta(t)) [/texx]"

No, lo cierto es que esa fórmula dice que las funciones \( \phi \) y \( \delta \) son constantes, que no es lo que quieres decir. Tú pareces estar pensando en expresiones del tipo ``sea \( y=f(x) \)" en el sentido de ``sea \( y \) una función de \( x \)", pero eso sólo es un residuo de una notación tradicional que es cómoda en la práctica, pero que no se corresponde con los conceptos de la lógica de primer orden. Formalizar eso se reduce a afirmar algo así como \( x: \left]a,b\right[\longrightarrow \mathbb R^n \), donde no aparece ninguna variable \( t \) y la variable \( x \) representa un conjunto de pares ordenados, no un número \( \phi(t) \). La notación en cuestión incluye el convenio informal de que usarás preferentemene la letra \( t \) para nombrar los argumentos de la función, pero esa clase de convenios sobre preferencias sobre variables a emplear, aunque son muy prácticos a la hora de orientarse con las cuentas, no tienen ninguna relevancia ni, por tanto, ninguna traducción formal en la lógica de primer orden.

o [texx](u \in A \leftrightarrow u \in B) \rightarrow A=B[/texx].

A esa fórmula le falta un \( \forall u \) que no puedes omitir porque no abarca toda la implicación, sino sólo su antecedente. No sé muy bien qué pretendes ilustrar con ella.

02 Septiembre, 2016, 08:08 pm
Respuesta #6

alexpglez

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Gracias Carlos, quería decir que entendí, aunque no formalicé bien sin querer los ejemplos que quería exponer.

Gracias otra vez!

PD: siento mezclar los temas del generalizador y el particularizador, creí que estaban relacionados.