[Michel]

Construir una circunferencia tangente a una recta dada r y que pase por por dos puntos dados A y B.

[dave.jason]

Hola Michel.

Buscamos el centro de la circunferencia, que es un punto que equidista de A, B y la recta r.

Primero dibujamos los puntos que equidistan del punto A y de la recta r: la parábola de foco A y directriz r.
Después dibujamos los puntos que equidistan del punto B y de la recta r: la parábola de foco B y directriz r.

La intersección de ambas parábolas será el único punto que equidista de A, B y la recta r; así que tal intersección será el centro de la circunferencia.

Un saludo

[Michel]

Hola dave.jason.

Adjunto la correspondiente figura.

Creo que el problema es correcto, salvo que puede haber dos soluciones, ya que pueden ser dos los puntos de intersección.

Yo tengo otra solución buscando el punto de tangencia, que enviaré en unos días.

El subforo de GS espera que tu valiosa colaboración sea más frecuente.

Saludos.

[Michel]

Supongamos el problema resuelto, siendo A y B los puntos dados y r la recta dada.

Sea C es el punto de tangencia, que vamos a determinar, y P el punto en que la recta AB corta a r.

Por potencia de P respecto de la circunferencia: \( PC^2=PA.PB \).

El segmento PA puede construirse como media proporcional de los segmentos PA y PB, lo que puede hacerse aparte, o sobre la misma figura construyendo una circunferencia que pase por A y B (su centro estará en la mediatriz de AB)

La tangente PT a ésta será igual al segmento PC que buscamos.
Entonces la construcción sigue los siguientes pasos:

1. Recta AB, que corta a r en P.
2. Una circunferencia cualquiera que pase por A y B.
3. Tangente PT a esa circunferencia.
4. Semicircunferencia de centro P y radio PT, que corta a r en C y C`, los puntos de tangencia.
5. Circunferencias circunscritas a los triángulos ABC y ABC`.

Saludos.

[EnRlquE]

Hola michel.

 Muy bonito problema. Lo intenté sin resultados y cuando vi la solución de ave.jason me rendí  . Por cierto, me parece que aquí

[...]
El segmento PA puede construirse como...
[...]

te refieres al segmento \( PC \) (sólo para que tu solución quede impecable). Siempre espero con interés los problemas que propones  .

Saludos,

Enrique.

[sugata]

Michel, consideras que r corta a la recta AB.
¿Y si fueran paralelas?

[Michel]

Hola enrique: efectivamente me refería al segmento PC.

Me encantan tus expresiones: problema bonito, solución limpia, solución impecable. GRACIAS.

Hola sugata.

Eso forma parte de la discusión, ver cómo varía ésta cuando varían los datos.

Deberías considerar que la recta AB sea paralela a r, que sea perpendicular, que uno o los dos estén en r, que estén a distinto lado de r,... ¿más casos?

Saludos.

[sugata]

A distinto lado sería imposible ya que AB cortaría a la tangente.
En caso de ser perpendiculares pasa igual.
Si son paralelas el punto de tangencia estaría en la mediatriz de AB.
Si un punto esta en r, hay infinitas soluciones ya que ese punto sería el de tangencia y podemos crear tantas circunferencias como queramos ( de esto no estoy seguro del todo.)
Y el caso de ambos puntos en la recta es irresoluble por la definición de tangencia.
¿Qué tal?

Editado: Lo tachado es falso. En el siguiente mensaje está la que creo, respuesta correcta.
Segunda edición: Lo tachado en rojo es falso. Creo que dos mensajes abajo lo hago bien

[sugata]

En el caso que un punto esté en la recta trazamos perpendicular por ese punto y donde corte a la mediatriz de AB, tendremos el centro

[sugata]

El caso de AB perpendicular a r sólo tiene solución si uno de los puntos esta en r.
Entonces AB sería el diámetro.