Autor Tema: Infinitésimos equivalentes (sustituciones)

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07 Agosto, 2016, 08:18 pm
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Billy_Google

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Hola.

A la hora de realizar el cálculo de límites, es conocida la regla de sustitución de factores de numerador/denominador por sus expresiones infinitesimales equivalentes en el punto correspondiente.

La cuestión es que no se suele hacer demasiado hincapié en las sustituciones en expresiones de suma/resta ya que en general no es posible salvo creo que situaciones que tienen que ver con su orden o su parte principal o algo así.

Mis dudas al respecto son: ¿Cuándo se pueden realizar? (¿Algún ejemplo para verlo?)

Saludos.

16 Septiembre, 2020, 12:29 pm
Respuesta #1

ciberalfil

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El mejor ejemplo es la integral, me explico. El límite de una suma de infinitos infinitésimos dependientes todos ellos de la variable n existe cuando es de la forma:

\( \displaystyle L=\lim_{n \to\infty}\sum_{i=1}^n{\epsilon_i(n)} \)

y todos ellos satisfacen la relación:

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{n\times{}\epsilon_i(n)}=k_i \) es decir todos ellos son de primer orden en n

Bien pues al substituir cualquiera de ellos o todos ellos por infinitésimos equivalentes el límite L no varía

\( \displaystyle L=\lim_{n \to\infty}\sum_{i=1}^n{\epsilon_i(n)}=\lim_{n \to\infty}\sum_{i=1}^n{\beta_i(n)} \)

si se cumple:

\( \displaystyle\forall{i} \lim_{n \to\infty}{\frac{\epsilon_i(n)}{\beta_i(n)}}=1 \) es decir cada uno de ellos es equivalente al que le substituye.

Debes tener en cuenta que la suma de un número finito de infinitésimos siempre se anula en el límite y no tendría sentido aplicar substituciones semejantes.

16 Septiembre, 2020, 01:05 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

El mejor ejemplo es la integral, me explico. El límite de una suma de infinitos infinitésimos dependientes todos ellos de la variable n existe cuando es de la forma:

\( \displaystyle L=\lim_{n \to\infty}\sum_{i=1}^n{\epsilon_i(n)} \)

y todos ellos satisfacen la relación:

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{n\times{}\epsilon_i(n)}=k_i \) es decir todos ellos son de primer orden en n

Si tomas \( \epsilon_i(n)=\dfrac{i}{n} \) cumple lo que dices pero el límite de esa suma no existe.

Citar
Bien pues al substituir cualquiera de ellos o todos ellos por infinitésimos equivalentes el límite L no varía

\( \displaystyle L=\lim_{n \to\infty}\sum_{i=1}^n{\epsilon_i(n)}=\lim_{n \to\infty}\sum_{i=1}^n{\beta_i(n)} \)

si se cumple:

\( \displaystyle\forall{i} \lim_{n \to\infty}{\frac{\epsilon_i(n)}{\beta_i(n)}}=1 \) es decir cada uno de ellos es equivalente al que le substituye.

Si tomas \( \epsilon_i(n)=\dfrac{1}{n} \) y \( \beta_i(n)=\dfrac{1}{n}+\dfrac{i}{n^2} \) se cumple que el límite del cociente es uno, pero los límites de la sumatoria no coinciden.

Saludos.

16 Septiembre, 2020, 01:24 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

A la hora de realizar el cálculo de límites, es conocida la regla de sustitución de factores de numerador/denominador por sus expresiones infinitesimales equivalentes en el punto correspondiente.

La cuestión es que no se suele hacer demasiado hincapié en las sustituciones en expresiones de suma/resta ya que en general no es posible salvo creo que situaciones que tienen que ver con su orden o su parte principal o algo así.

Mis dudas al respecto son: ¿Cuándo se pueden realizar? (¿Algún ejemplo para verlo?)

Dos infinitésimos equivalentes en un punto \( x_0 \) son dos funciones \( f(x) \)  y \( g(x) \) cuyo límite en \( x_0 \) es cero y cuyo límite del cociente es \( 1 \).

Entonces cuando uno sustituye un infinitésimo equivalente por otro de manera "escondida" está usando esa propiedad.

Por ejemplo que \( sin(x)\sim x \) en cero significa que \( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{sin(x)}{x}=1. \)

Si uno escribe:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{sin(x)}{2x+x^3}=\lim_{x \to 0}{}\dfrac{x}{2x+x^3}=\lim_{x \to 0}{}\dfrac{1}{2+x^2}=\dfrac{1}{2} \)

Realmente ha "escondido" algo así:

\( \displaystyle\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{sin(x)}{2x+x^3}=\lim_{x \to 0}{}\dfrac{sin(x)\dfrac{x}{x}}{2x+x^3}=\lim_{x \to 0}{}\dfrac{sin(x)}{x}\lim_{x \to 0}{}\dfrac{x}{2x+x^3}=\ldots=1\cdot \dfrac{1}{2} \)

Entonces mientas uno puede detallar de esta forma ese paso, la cosa funciona.

Suele haber problemas cuando se restan infinitésimos equivalentes del mismo orden. Por ejemplo el típico límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}0}{}\dfrac{sin(x)-x}{x^3} \)

Analiza que ocurre ahí si intentas jugar con el cociente que define infinitésimos equivalentes.

Saludos.

16 Septiembre, 2020, 02:11 pm
Respuesta #4

ciberalfil

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Los infinitésimos deben ser función solo de la variable n, si haces depender alguno de ellos de n e i entonces no se cumplen las condiciones, y logicamente el límite de la suma no se mantiene.

En este caso:

\( \displaystyle\beta_i=\frac{1}{n}+\frac{i}{n^2} \)

no satisface la condición, claro, puesto que i es una variable independiente en el proceso de paso al límite, no varía con n y puede tomar cualquier valor.

\( \beta_i=\beta_i(n)\qquad\qquad\beta_i\neq\beta_i(n,i) \)

16 Septiembre, 2020, 02:15 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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Es que es función de una variable, \( i \) es una constante para el infinitésimo \( \beta_i \)

16 Septiembre, 2020, 02:28 pm
Respuesta #6

ciberalfil

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Los infinitésimos deben depender solo de la variable n, en otro caso la regla no se cumple claro. i es una constante para un solo infinitésimo pero no lo es para todos ellos, estás "trampeando" el resultado. Disculpa la palabreja, no encontre otra que se ajustara mejor. ¿Cuanto vale i al realizar la suma? ¿es una constante, estas seguro?

Saludos.

16 Septiembre, 2020, 04:35 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Los infinitésimos deben ser función solo de la variable n, si haces depender alguno de ellos de n e i entonces no se cumplen las condiciones, y logicamente el límite de la suma no se mantiene.

En este caso:

\( \displaystyle\beta_i=\frac{1}{n}+\frac{i}{n^2} \)

no satisface la condición, claro, puesto que i es una variable independiente en el proceso de paso al límite, no varía con n y puede tomar cualquier valor.

\( \beta_i=\beta_i(n)\qquad\qquad\beta_i\neq\beta_i(n,i) \)

Los infinitésimos deben depender solo de la variable n, en otro caso la regla no se cumple claro. i es una constante para un solo infinitésimo pero no lo es para todos ellos, estás "trampeando" el resultado. Disculpa la palabreja, no encontre otra que se ajustara mejor. ¿Cuanto vale i al realizar la suma? ¿es una constante, estas seguro?

Entonces no he entendido lo que has escrito. Tu pones:

\( \displaystyle L=\lim_{n \to\infty}\sum_{i=1}^n{\epsilon_i(n)} \)

Normalmente (con los convenios usuales) \( \epsilon_i(n) \) debería de ser un término que dependa de \( i \) y de \( n \). ¿Solo depende de \( n \)?. ¿Entonces es una suma de términos iguales y constantes?. ¿Por qué no pones un producto entonces?...ó... ¿Sólo depende de \( i \).. pero en ese caso que sentido tendría esté límite \( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{n\times{}\epsilon_i(n)}=k_i \)?.

Pon un o varios ejemplos si quieres para aclarar...

Saludos.

16 Septiembre, 2020, 05:36 pm
Respuesta #8

ciberalfil

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Quieres un ejemplo, aquí lo tienes, sea \( k_i \) una sucesión de números reales acotada superior e inferiormente, cualquier sucesión podría valer de forma que:

\( \displaystyle\forall{i}\qquad A\leq{}k_i\leq{}B \)

bastaría definir una sucesión de {k_i} monótona creciente cuyo primer término fuera A y su límite fuera B, hay infinitas formas de hacerlo.

Entonces:

\( \displaystyle\epsilon_i(n)=\frac{k_i}{n}\qquad\qquad\beta_i(n)=\frac{k_i\times{}n^2}{n^3+1}\qquad\qquad\gamma_i=k_iSen\left(\frac{n^7}{n^8+1}\right)\qquad\qquad etc. \)

Es cierto que sus valores dependen de i, pero están acotados, no crecen indefinidamente.

¿Te vale algo como esto? Saludos.

16 Septiembre, 2020, 05:57 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Quieres un ejemplo, aquí lo tienes, sea \( k_i \) una sucesión de números reales acotada superior e inferiormente, cualquier sucesión podría valer de forma que:

\( \displaystyle\forall{i}\qquad A\leq{}k_i\leq{}B \)

bastaría definir una sucesión de {k_i} monótona creciente cuyo primer término fuera A y su límite fuera B, hay infinitas formas de hacerlo.

Entonces:

\( \displaystyle\epsilon_i(n)=\frac{k_i}{n}\qquad\qquad\beta_i(n)=\frac{k_i\times{}n^2}{n^3+1}\qquad\qquad\gamma_i=k_iSen\left(\frac{n^7}{n^8+1}\right)\qquad\qquad etc. \)

Es cierto que sus valores dependen de i, pero están acotados, no crecen indefinidamente.

¿Te vale algo como esto? Saludos.

Pero la cuestión es exactamente entonces que estás exigiendo a \( \epsilon_i(n) \); en tu ejemplo igual que en el mío depende de \( i \) y de \( n \). La diferencia es que tu ejemplo cumple lo que te interesa y el mío no.

Por ejemplo \( \epsilon_i(n)=\dfrac{1-\frac{1}{i}}{n} \) entra dentro de tu familia de ejemplos. Pero depende igualmente de \( i \) y de \( n \).

Entonces intuyo que debes de definir más claramente y de manera más general que cumplen tus \( \epsilon_i(n) \); reitero que con lo que has escrito en tu primer mensaje, lo que afirmas no es cierto.

Saludos.

16 Septiembre, 2020, 06:06 pm
Respuesta #10

ciberalfil

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No estoy muy seguro pero creo que bastaría con establecer que:

\( \displaystyle\forall{i}\qquad A\leq{}\lim_{n \to\infty}{n\times{\epsilon_i(n)}}=k_i\leq{}B \)

condición que deben satisfacer también los \( \beta_i \), es decir mantenerse acotado. El ejemplo que pusiste no satisface esta condición ya que \( i \) rebasará necesariamente cualquier cota que se establezca.

Intenta construir un ejemplo que satisfaga esta condición pero que no respete la igualdad de sumas, creo que no podrás.

Salu2

16 Septiembre, 2020, 06:16 pm
Respuesta #11

Fernando Revilla

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  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
@ciberalfil: Mi pregunta es, ¿que tienen que ver los \( \epsilon_i(n) \) que andas poniendo desde el principio con una pregunta tan clara como la siguiente?:

¿Suponiendo que \( f(x)\sim f_1(x) \) cuando \( x\to x_0 \), bajo qué condiciones se podría asegurar que

        \( \displaystyle\lim_{x \to x_0}\left[f(x)+g(x)\right]=\lim_{x \to x_0}[f_1(x)+g(x)] \)?

16 Septiembre, 2020, 06:35 pm
Respuesta #12

ciberalfil

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Bueno, la pregunta no fue exactamente esa, la pregunta hacia referencia  a la substitución de infinitésimos en el caso de sumas o diferencias sin especificar que tipo de sumas o diferencias, la suma de infinitos infinitésimos es un caso posible, así que entiendo que tiene relación con la pregunta inicial.

Salu2

16 Septiembre, 2020, 10:09 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

No estoy muy seguro pero creo que bastaría con establecer que:

\( \displaystyle\forall{i}\qquad A\leq{}\lim_{n \to\infty}{n\times{\epsilon_i(n)}}=k_i\leq{}B \)

condición que deben satisfacer también los \( \beta_i \), es decir mantenerse acotado. El ejemplo que pusiste no satisface esta condición ya que \( i \) rebasará necesariamente cualquier cota que se establezca.

Intenta construir un ejemplo que satisfaga esta condición pero que no respete la igualdad de sumas, creo que no podrás.

Pues el que puse al principio.

Si tomas \( \epsilon_i(n)=\dfrac{1}{n} \) y \( \beta_i(n)=\dfrac{1}{n}+\dfrac{i}{n^2} \) se cumple que el límite del cociente es uno, pero los límites de la sumatoria no coinciden.

Cumple que:

\( 1\leq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}n\times \epsilon_i(n)=1\leq 1 \)
\( 1\leq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}n\times {}\beta_i(n)=1\leq 1 \)

y la sumas no coinciden.

Es más, esa condición tampoco garantiza que la suma converja.

Por ejemplo considera la sucesión \( k_i \):

1,2,1,  2, 1,1,1,1, 2,2,2,2, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...

Para que se entienda se empieza en \( k_1=1 \) \( k_2=2 \) y luego se añaden unos hasta que haya el doble de unos que de doses; y luego doses para igualar la cantidad.

Definimos \( \epsilon_i(n)=\dfrac{k_i}{n} \) cumpliendo:

\( \displaystyle\forall{i}\qquad 1\leq{}\lim_{n \to\infty}{n\times{\epsilon_i(n)}}=k_i\leq{}2 \)

Entonces cuando se duplican unos frente a doses: es decir se tienen \( 2a \) unos y \( a \) doses la suma vale: \( \dfrac{2a+2a}{3a}=\dfrac{4}{3} \). Cuando se igualan la suma vale: \( \dfrac{b+2b}{2b}=\dfrac{3}{2} \). Es una sucesión oscilante que no converge.

Saludos.

16 Septiembre, 2020, 11:43 pm
Respuesta #14

ciberalfil

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Pues es posible que tengas razón, le daré algunas vueltas a ver si puedo establecer las condiciones que hagan que se cumpla lo dicho y si no lo consigo me olvidaré del asunto, si lo consigo entraré a exponer lo concluido, pero existen casos en que se cumple lo dicho y valen como ejemplo, aunque está claro que las condiciones deben ser más restrictivas para el substituto que lo expuesto.

Saludos.