Autor Tema: Dado que f(f(x))=3x, hallar f(16)

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03 Agosto, 2016, 04:21 am
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Alexander

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 Hola. Tengo el siguiente problema:

Dada una función \( \displaystyle f\ \colon\  \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) (\( \displaystyle \mathbb{N} \): conjunto de los números naturales), estrictamente creciente, que satisface \( \displaystyle f\left(f\left(x\right)\right)=3x\ \forall\ x \), hallar el valor de \( \displaystyle f\left(16\right) \).

Puede verse que se conoce la función \( \displaystyle f \) evaluada en sí misma. Se me ocurrió que puede ser \( \displaystyle f\left(x\right)=f^{-1}\left(3x\right) \), con lo cual \( \displaystyle f\left(16\right)=f^{-1}\left(48\right) \). ¿Qué más podría hacer?

03 Agosto, 2016, 06:42 am
Respuesta #1

EnRlquE

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Hola Alexander.

 En este momento no tengo ninguna prueba elegante, de hecho me causa curiosidad encontrar una función que cumpla las condiciones del problema, casi diría que no existe; pero no me he detenido a pensar mucho en la función del problema, así que las corazonadas no cuentan.

 Bien, suponiendo que todo está bien podemos comenzar con \( 1<f(1) \), luego \( f(1)<f(f(1))=3 \). Esto significa que \( f(1)=2 \) y además \( f(2)=3 \). Entonces \( f(3)=f(f(2))=6 \). Siguiendo con el mismo razonamiento \( f(6)=f(f(3))=9 \). Entonces tenemos \( 6=f(3)<f(4)<f(5)<f(6)=9 \), luego \( f(4)=7 \) y \( f(5)=8 \). Análogamente \( f(7)=f(f(4))=12 \) y \( f(8)=f(f(5))=15 \). Ya estamos por la mitad  :D. Continuando el proceso \( f(9)=f(f(6))=18 \), \( f(12)=f(f(7))=21 \) y \( f(15)=f(f(8))=24 \) (¡ya casi!). Luego \( f(18)=f(f(9))=27 \) y finalmente de

\( 24=f(15)<f(16)<f(17)<f(18)=27, \)

concluimos que \( f(16)=25 \). Como ves es una prueba por "fuerza bruta" que en nuestro caso funciona porque \( 16 \) es un número relativamente pequeño.

Saludos,

Enrique.

03 Agosto, 2016, 12:24 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

En este momento no tengo ninguna prueba elegante, de hecho me causa curiosidad encontrar una función que cumpla las condiciones del problema, casi diría que no existe; pero no me he detenido a pensar mucho en la función del problema, así que las corazonadas no cuentan.

 Si existe. Mira aquí:

https://oeis.org/A003605

 El problema general de encontrar sucesiones crecientes de naturales verificando \( a(a(n))=dn \) con \( d \) constante es tratado en este artículo:

J-P. Allouche, N. Rampersad, J. Shallit. On integer sequences whose first iterates are linear.
Aequationes mathematicae, Marzo 2005, Volumen 69, Issue 1, pp 114–127

 Si te interesa el artículo y no tienes acceso a él házmelo saber.

Saludos.

03 Agosto, 2016, 06:22 pm
Respuesta #3

EnRlquE

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¡Muchas gracias por la información el_manco! El artículo me interesa y afortunadamente sí tengo acceso él, ya forma parte de mis lecturas pendientes  :).

08 Agosto, 2016, 12:49 am
Respuesta #4

Alexander

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 Bien, suponiendo que todo está bien podemos comenzar con \( 1<f(1) \), luego \( f(1)<f(f(1))=3 \). Esto significa que \( f(1)=2 \) y además \( f(2)=3 \). Entonces \( f(3)=f(f(2))=6 \). Siguiendo con el mismo razonamiento \( f(6)=f(f(3))=9 \). Entonces tenemos \( 6=f(3)<f(4)<f(5)<f(6)=9 \), luego \( f(4)=7 \) y \( f(5)=8 \). Análogamente \( f(7)=f(f(4))=12 \) y \( f(8)=f(f(5))=15 \). Ya estamos por la mitad  :D. Continuando el proceso \( f(9)=f(f(6))=18 \), \( f(12)=f(f(7))=21 \) y \( f(15)=f(f(8))=24 \) (¡ya casi!). Luego \( f(18)=f(f(9))=27 \) y finalmente de

\( 24=f(15)<f(16)<f(17)<f(18)=27, \)

concluimos que \( f(16)=25 \). Como ves es una prueba por "fuerza bruta" que en nuestro caso funciona porque \( 16 \) es un número relativamente pequeño.

Bien. He leído el primer enlace brindado por EnRlquE, donde se define que \( \displaystyle a\left(0\right)=0 \) y \( \displaystyle a\left(1\right)=2 \), pero ¿por qué \( \displaystyle a\left(1\right)>1 \), y la función no toma el valor \( \displaystyle 1 \)?

Además, yo no tengo acceso al artículo On integer sequences whose first iterates are linear. Aequationes mathematicae, quizá alguno de ustedes me lo pueda brindar.

08 Agosto, 2016, 01:57 am
Respuesta #5

EnRlquE

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Hola.

 ¿Qué pasaría si \( f(1)=1 \)? recuerda que \( f(f(x))=3x \).

Saludos,

Enrique.

P.D: Sobre el artículo, sólo hay que googleralo un poco, escribiendo el título en google se llega a la página de uno de los autores donde él comparte una copia, el link es este: https://www.imj-prg.fr/~jean-paul.allouche/allramsha.ps, tienes que tener algún lector de archivos .ps y además tener en cuenta que su lectura puede ser algo complicada.

08 Agosto, 2016, 03:03 am
Respuesta #6

Alexander

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Cierto. \( \displaystyle f\left(1\right)=1 \) contradiría \( \displaystyle f\left(f\left(1\right)\right)=3 \).

Gracias.