Hola Alexander.
En este momento no tengo ninguna prueba elegante, de hecho me causa curiosidad encontrar una función que cumpla las condiciones del problema, casi diría que no existe; pero no me he detenido a pensar mucho en la función del problema, así que las corazonadas no cuentan.
Bien, suponiendo que todo está bien podemos comenzar con \( 1<f(1) \), luego \( f(1)<f(f(1))=3 \). Esto significa que \( f(1)=2 \) y además \( f(2)=3 \). Entonces \( f(3)=f(f(2))=6 \). Siguiendo con el mismo razonamiento \( f(6)=f(f(3))=9 \). Entonces tenemos \( 6=f(3)<f(4)<f(5)<f(6)=9 \), luego \( f(4)=7 \) y \( f(5)=8 \). Análogamente \( f(7)=f(f(4))=12 \) y \( f(8)=f(f(5))=15 \). Ya estamos por la mitad
. Continuando el proceso \( f(9)=f(f(6))=18 \), \( f(12)=f(f(7))=21 \) y \( f(15)=f(f(8))=24 \) (¡ya casi!). Luego \( f(18)=f(f(9))=27 \) y finalmente de
\( 24=f(15)<f(16)<f(17)<f(18)=27, \)
concluimos que \( f(16)=25 \). Como ves es una prueba por "fuerza bruta" que en nuestro caso funciona porque \( 16 \) es un número relativamente pequeño.
Saludos,
Enrique.