[sergioswim]

Hola a todos, hoy vengo con un problema sobre el producto generalizado. Les daré un ejemplo(doy una imagen, ya que no soy capaz de reproducir las expresiones tal y como lo expone el libro), y después expongo mi duda.

El libro dice que en muchas ocasiones  la factorización de un numero natural mayor que 1 contiene números primos repetidos, por ejemplo:



En este se expone como se puede denotar cualquier numero, en este caso es el 4000. Yo me tome la tarea de verificar si se cumple, y he dado con que no se puede. Como ustedes saben los \( p_i \) son primos que van desde 0 hasta \( k \), así que el primer elemento \( p_0 \) vendría siendo el primer numero primo, el dos; \( p_1 \) el tres, \( p_2 \) el cinco, \( p_3 \) el siete. los \( α_i \) cumplen el mismo patrón. Siguiendo las ideas anteriores, tenemos que ese resultado es distinto de 4000. Asi que, como se maneja esa notación para representar un numero?

Saludos.

[ingmarov]

... así que el primer elemento \( p_0 \) vendría siendo el primer numero primo, el dos;...

 Asi que, como se maneja esa notación para representar un numero?

Saludos.

A ver descomponemos 4000 en factores primos

\( \begin{array}{r|c}{4000}&{2}\\{2000}&{2}\\{1000}&{2}\\{500}&{2}\\{250}&{2}\\{125}&{5}\\{25}&{5}\\{5}&{5}\\{1}&{}\end{array} \)

Entonces \( 4000=2^5\cdot 5^3 \)

En forma generalizada sería

\( 4000=2^{\color{blue}5}\cdot 3^{\color{blue}0}\cdot 5^{\color{blue}3} \)


Seguro cometiste algún error en tus cáalculos.

[sergioswim]

Hola ingmarov , si, tienes razón, pero en lo que yo tengo la duda es los exponentes \( α_i \). Se supone que el valor que adquiera \( i \) se aplicara tanto a la base como al exponente,por ejemplo si i=1, entonces \( p_1 \) y \( α_i \). Si aplicamos eso, tenemos que 4000 = \( \displaystyle\prod_{i=0}^{k=2}{p_i}^(α_i) \)  = \( p_0^α_ip_1^α_1p_2^α_2 \) =
\( (2^2)(3^3)(5^5) \neq{4000} \). Lo anterior es mi duda. Saludos.

[sugata]

Es que tienes definido
\( (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(5,0,3) \)
Es decir, para cada número deberías cambiar la definición de alfa.
Por ejemplo, para 12 sería (2,1)