Autor Tema: ¿Qué es lo correcto?

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18 Febrero, 2020, 02:03 pm
Respuesta #540

feriva

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\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)\neq{4c^na^n+3a^{2n}+(b^n-a^n)^2+b^{2n}} \) porque el primer miembro es múltiplo de \( c \) y el segundo no.


Hola, minette.

Ahí lo que pasa es que si se da la igualdad

\( c^{2n}+c^{n}(b^{n}-a^{n})=4c^{n}a^{n}+{\color{blue}3a^{2n}+(b^{n}-a^{n})^{2}+b^{2n}}
  \)

Entonces lo azul tiene forzosamente que ser múltiplo de “c”. Cosa que en principio, si no se demuestra lo contrario, es posible para coprimos “a,b,c”; se puede ver con un ejemplo cualquiera:

\( a=5:b=7
  \) y n=3, por poner un caso; entonces:

\( {\color{blue}3(5)^{6}+(7^{3}-5^{3})^{2}+7^{6}=212048}
  \)

que se descompone en estos primos:

\( 212048=2^{4}\cdot29\cdot457
  \)

No es múltiplo de 5 ni de 7, o sea, es coprimo con 5 y 7; luego podría ser múltiplo de “c.

Saludos.

19 Febrero, 2020, 01:00 pm
Respuesta #541

minette

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Gracias, Feriva, por tu respuesta 540.

Ten en cuenta que si \( a=5 \) ; \( b=7 \) , la única terna viable con esos valores de \( a, b \) es (5,7,8) con lo cual el primer miembre es

\( 8^6+8^3(7^3-5^3)=373760 \).

\( 373760\neq{212048} \)

Y ello a pesar de que \( 212048 \) es múltiplo de 8.

Aprovecho para decir que personalmente me deprime por no decir me avergüenza como aficionado que en toda la comunidad internacional de matemáticos nadie puede demostrar la desigualdad

\( (c^n-2a^n)^2\neq{(b^n-a^n)^2} \).

Saludos

19 Febrero, 2020, 03:40 pm
Respuesta #542

Luis Fuentes

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Hola

Aprovecho para decir que personalmente me deprime por no decir me avergüenza como aficionado que en toda la comunidad internacional de matemáticos nadie puede demostrar la desigualdad

\( (c^n-2a^n)^2\neq{(b^n-a^n)^2} \).

Entiendo que te refieres para \( n\geq 3 \) y variables tomando valores en los números naturales.

Si se quitan los cuadrados y se pasa \( 2a^n \) al lado derecho, equivale a probar que la siguiente igualdad:

\( c^n=b^n+a^n \)

no es posible para naturales y \( n\geq 3 \), que es justo el Teorema de Fermat y que está perfectamente demostrado. Así que no hace falta que te deprimas por eso.  ;)

Saludos.

19 Febrero, 2020, 05:40 pm
Respuesta #543

feriva

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Hola

Gracias, Feriva, por tu respuesta 540.

Ten en cuenta que si \( a=5 \) ; \( b=7 \) , la única terna viable con esos valores de \( a, b \) es (5,7,8)

Pero era sólo un ejemplo, minette, lo que quería hacer ver es que esa expresión puede ser múltiplo del número que sea, aunque sean otros los valores de “a” y “b”. Si no es posible que sea múltiplo de “c”, hay que probarlo, esa expresión por sí sola no lo prueba (bueno, para ser más preciso, digo que yo no lo sé probar).

Un ejemplo “positivo” (en el sentido de que sí puedo probarlo) es por ejemplo, qué sé yo, éste, \( a(a+1)-1=2c
  \), esto es imposible para enteros a,c; porque \( a(a+1)
  \) es par y al quitarle 1 es impar, no puede ser un múltiplo de 2. Pero en el caso que pones no sé por qué no podría ser múltiplo de “c”, no llego a ver un argumento incontestable, como en ese caso.

Saludos.

19 Febrero, 2020, 05:57 pm
Respuesta #544

minette

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Si en \( c^n-2a^n?b^n-a^n \)

Sustituimos \( c^n \) por \( a^n+b^n \):

\( a^n+b^n-2a^n=b^n-a^n \)

ocurre que \( a^n+b^n=c^n \) es una falsedad que se demostró con unos cien folios. Esto cas1 todos lo sabemos. Ahora bien

\( c^{2n}+4a^{2n}-4c^na^n\neq{a^{2n}+b^{2n}-2a^nb^n} \) (1)

demostrar esta desigualdad equivale a demostrar

\( c^n-2a^n\neq{b^n-a^n} \)

y \( c^n-a^n\neq{b^n\rightarrow{c^n\neq{b^n+a^n}}} \)

con un número de folios bastante menor que 100.

Si dos cuadrados son desiguales, las bases de donde proceden también lo son.

Estás suponiendo, Luis, que yo soy desconocedr de la demostración de Wiles.

Lo que me deprime es que la desiguadad (1) nadie acierte a demostrarla.

Saludos.

19 Febrero, 2020, 06:11 pm
Respuesta #545

Luis Fuentes

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Si en \( c^n-2a^n?b^n-a^n \)

Sustituimos \( c^n \) por \( a^n+b^n \):

\( a^n+b^n-2a^n=b^n-a^n \)

ocurre que \( a^n+b^n=c^n \) es una falsedad que se demostró con unos cien folios. Esto cas1 todos lo sabemos.

Es que decías que la comunidad internacional no sabía demostrarla. Y eso es no es así, como te he mostrado. ¡Ya se que ya sabías esa equivalencia!. Lo que no sé es porque afirmas que la comunidad internacional no sabe demostrarla.

Citar
Ahora bien

\( c^{2n}+4a^{2n}-4c^na^n\neq{a^{2n}+b^{2n}-2a^nb^n} \) (1)

demostrar esta desigualdad equivale a demostrar

\( c^n-2a^n\neq{b^n-a^n} \)

y \( c^n-a^n\neq{b^n\rightarrow{c^n\neq{b^n+a^n}}} \)

con un número de folios bastante menor que 100.

Es que lo de "con un número de folios bastante menor que 100" te lo sacas de la manga. Es una afirmación gratuita. ¿Quien ha demostrado (1) con un número de folios bastante menor que 100?. Que yo sepa nadie. Ni tu, ni yo, ni nadie. Yo se demostrarlo, haciendo el pequeño y trivial paso que transforma (1) en el Teorema de Fermat y usando que éste ya está probado por Wiles. Y él usa esos 100 folios (no se si 100, 200 o 90 pero "unos cuantos"  :D)

Citar
Estás suponiendo, Luis, que yo soy desconocedr de la demostración de Wiles.

Ya se que la conoces. Pero no se porque afirmas cosas que no son ciertas entonces.

Citar
Lo que me deprime es que la desiguadad (1) nadie acierte a demostrarla.

Si te deprime que nadie sea capaz de probar (1) en menos de 100 folios es tu problema. Lo que no sé porque crees que había de ser más fácil probar:

\( c^{2n}+4a^{2n}-4c^na^n\neq{a^{2n}+b^{2n}-2a^nb^n} \)  (1)

que  probar:

\( c^n\neq a^n+b^n \) (2)

cuando la segunda ecuación es algo más sencilla que la primera. Es una fantasía, sin más, francamente.

Saludos.

03 Marzo, 2020, 06:46 pm
Respuesta #546

minette

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Hola

Son pocos los libros publicados sobre la famosa desigualdad de Fermat \( a^{n}+b^{n}\neq c^{^{m}} \)
 .

Observo que se limitan a relatar los intentos de demostrarla pero, siempre, para casos concretos de un valor del exponente \( n \)  o para una gama de valores del citado exponente. Nunca para cualquier valor de \( n \)
  .

Empiezan por \( n=3 \)  y la demostración de Euler-Gauss. Etcétera. Nunca, insisto, para cualquier intento, aunque fallido, para un valor general de \( n \)  .

Rincón Matemático es testigo de mis intentos, siempre para cualquier valor de \( n  \) , sin llegar a buen puerto.

Por ejemplo. Tratar de demostrar la desigualdad de estas dos fracciones:

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{^{n-1}}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{^{n-1}}} \)
 

Se me ha reprochado que no basta afirmar que \( a,b,c,n \)  son naturales. Ruego se me diga cómo conseguir la “naturalidad” indiscutible de los números representados por esas letras.

También se ha intentado involucrar en mis razonamientos a cualesquiera números reales no sé con que propósito.

\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a{}^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

Si \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}}  \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)
 

Entonces 1º miembro > 2º miembro

Y las bases de donde provienen los cuadrados también

\( c^{n}-2a^{n}>b^{n}-a^{n} \)
 

\( c^{n}>b^{n}+a^{n} \)
 

Cualesquiera que sean \( a,b,c,n \)  .

Saludos.

04 Marzo, 2020, 10:56 am
Respuesta #547

Luis Fuentes

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Empiezan por \( n=3 \)  y la demostración de Euler-Gauss. Etcétera. Nunca, insisto, para cualquier intento, aunque fallido, para un valor general de \( n \)  .

¿Qué pretendes que hubiese un libro que recogiese los miles de intentos fallidos de demostrar el teorema y que no aportan absolutamente NADA?. Sería absurdo. Si en algún momento se recoge algún demostración errónea es porque, aún conteniendo algún fallo, tiene interés.

Citar
Rincón Matemático es testigo de mis intentos, siempre para cualquier valor de \( n  \) , sin llegar a buen puerto.

Correcto. De tus intentos y los de otros muchos aficionados. Como era de esperar dado lo quijotesco de la empresa, ninguno ha tenido éxito ni ha hecho ningún avance mínimamente relevante.

Citar
Se me ha reprochado que no basta afirmar que \( a,b,c,n \)  son naturales. Ruego se me diga cómo conseguir la “naturalidad” indiscutible de los números representados por esas letras.

También se ha intentado involucrar en mis razonamientos a cualesquiera números reales no sé con que propósito.

Te lo he explicado decenas de veces y ya no se explicarlo mejor. Si lo entendieses perderías menos el tiempo.

Sea como sea (y esto es algo que también me he cansado de repetirte) te he mostrado los fallos de todos tus intentos sin hacer intervenir para nada ese matiz adicional que hago sobre naturales y reales.

Citar
\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a{}^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

Si \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}}  \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)
 

Entonces 1º miembro > 2º miembro

Y las bases de donde provienen los cuadrados también

\( c^{n}-2a^{n}>b^{n}-a^{n} \)
 

\( c^{n}>b^{n}+a^{n} \)
 

Cualesquiera que sean \( a,b,c,n \)  .

¿Qué quieres decir con todo esto? No hay nada útil ahí. Lo que has probado es que:

SI  \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}}  \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)

entonces

\( c^n>b^n+a^n \)

¿y qué utilidad tiene eso?.... Ninguna.

Desconozco si con eso pretendías defender que tienes una demostración del UFT. En general sería bueno que cuando presentes unas cuentas expliques exactamente que pretendes concluir de ellas. Porque a veces muestras cuentas tan correctas como inútiles, entonces no se muy bien que pretendes que comentemos sobre ellas.

Saludos.

05 Marzo, 2020, 10:58 am
Respuesta #548

minette

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Creo, Luis, que para números reales la famosa desigualdad de Fermat \( a^n+b^n\neq{c^n} \) es falsa.

Las cuentas correctas e inútiles son estas:

\( c^n-2a^n?b^n-a^n \)

si \( c^n=a^n+b^n \)

entonces el interrogante anterior es =.

Trato de elevar al cuadrado los dos miembros anteriores

\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

El plan es, si consigo demostrar que estos dos cuadrados no son iguales, las bases de donde provienen tampoco lo son:

\( c^n-2a^n\neq{b^n-a^n} \)

y \( c^n\neq{b^n+a^n} \)

Reconozco que mi demostración es parcial pero, así y todo, es válida para un número infinito de ternas viables.

Saludos.


05 Marzo, 2020, 12:42 pm
Respuesta #549

Luis Fuentes

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Citar
Creo, Luis, que para números reales la famosa desigualdad de Fermat \( a^n+b^n\neq{c^n} \) es falsa.

¡Claro!

Citar
Las cuentas correctas e inútiles son estas:

\( c^n-2a^n?b^n-a^n \)

si \( c^n=a^n+b^n \)

entonces el interrogante anterior es =.

Trato de elevar al cuadrado los dos miembros anteriores

\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

El plan es, si consigo demostrar que estos dos cuadrados no son iguales, las bases de donde provienen tampoco lo son:

\( c^n-2a^n\neq{b^n-a^n} \)

y \( c^n\neq{b^n+a^n} \)

Reconozco que mi demostración es parcial pero, así y todo, es válida para un número infinito de ternas viables.

Si, las cuentas estaban claras.

Pero el interés de la demostración parcial, bajo mi punto de vista, es nulo. Lo de "ternas viables" en realidad es un término que usas constantemente pero no tiene un significado concreto; dado que la conclusión final debería de ser que ninguna terna cumple la ecuación... toda terna es viable... hasta que deja de serlo.

SI  \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}}  \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)

Esa condición trivializa la cuestión y le quita interés. De hecho bajo esa suposición tampoco existen ternas de números reales positivos que cumplan la igualdad. Es decir estarías tan "cerca" de probar el Teorema de Fermat, como de probar el resultado FALSO de que tampoco existen ternas reales que cumplan la igualdad.

Sea como sea, el discutir si tiene interés o no es una pérdida de tiempo. Al final tu podrás pensar que sólo trato de quitarle importancia o mérito a lo que haces, o lo que quieras. No deja de ser subjetivo.

Lo que está claro es que NO demuestra  el UTF. Y eso es objetivo.

Saludos.

05 Marzo, 2020, 03:46 pm
Respuesta #550

feriva

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para números reales la famosa desigualdad de Fermat \( a^n+b^n\neq{c^n} \) es falsa.

Al decir eso, ¿lo estás entendiendo con el significado correcto, minette? Es una pregunta, no estoy afirmando que lo estés entendiendo mal, pero podría ocurrir y tener que ver con algunos errores que cometes al analizar las cosas.

Es falsa porque cuando se dice “falsa”, sin más añadidura, se sobrentiende siempre que se está hablando en general (que quiere decir que, con seguridad, algunos no cumplen la desigualdad, sin especificar si esos algunos son todos o no). En el caso de este teorema, si se especifica, no es falsa para todos los reales “a,b,c” que se tomen, porque es cierta en el caso de que estos tres reales, “a,b,c”, sean racionales, conjunto que incluye a los enteros.

Saludos.

06 Marzo, 2020, 06:34 pm
Respuesta #551

minette

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Una terna viable, además de cumplir \( c>b>a \), tiene que cumplir \( a+b>c \), y ser primos entre sí.

Si \( a+b=c \) entonces \( a^2+b^2<c^2 \) y \( a^n+b^n<c^n \) si \( n\geq{2} \)
Si \( a+b<c \), \( a^2+b^2<c^2 \) y \( a^n+b^n<c^n \) si \( n\geq{2} \).

Por otro lado \( a^2+b^2>c^2 \).

Si \( a^2+b^2<c^2 \)  \( a^n+b^n<c^n \) si \( n>2 \)
Si \( a^2+b^2=c^2 \)  \( a^n+b^n<c^n \) si \( n>2 \)

Voy a escribir todas las ternas con \( a=5 \) y \( b\leq{15} \)

(5,6,7) (5,6,9) (5,7,8) (5,7,10) (5,8,9) (5,8,11) (5,9,10) (5,9,12) (5,10,11) (5,10,13) (5,11,12) (5,11,14) (5,12,13) (5,12,15) (5,13,14) (5,13,16) (5,14,15) (5,14,17) (5,15,16) (5,15,18).

De estas sólo son viables, por distintos motivos,

(5,6,7) (5,7,8) (5,8,9) (5,8,11) (5,11,12) (5,11,14) (5,13,14) (5,13,16) (5,14,17)

Es decir 9 de 20.

Saludos.

06 Marzo, 2020, 07:58 pm
Respuesta #552

Luis Fuentes

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Una terna viable, además de cumplir \( c>b>a \), tiene que cumplir \( a+b>c \), y ser primos entre sí.

Vale, llamas viables a las que cumplen eso.

Citar
De estas sólo son viables, por distintos motivos,

(5,6,7) (5,7,8) (5,8,9) (5,8,11) (5,11,12) (5,11,14) (5,13,14) (5,13,16) (5,14,17)

Per ahora dices que estas tampoco son viables, pero si cumplen la condición anterior. ¿Entonces las viables son las qué cumplían lo primero o tienen que cumplir más cosas?.

Añadiendo más motivos tendrías menos "viables"; hasta que añadiendo la condición \( a^n+b^n=c^n \) ninguna sería viable.

Por otro lado volviendo a tus mensajes anteriores. Descartas ternas que cumplan:

SI  \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}}  \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)

¿Qué ganamos con eso? ¿Por qué se supone que es una condición más débil esa que directamente comprobar si \( a^n+b^n=c^n \)?.

En fin...

Saludos.

25 Mayo, 2020, 12:14 pm
Respuesta #553

minette

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Si en las expresiones \( 2c^{n}a^{n}?4b^{n}a^{n} \)  sustituimos \( c^{n} \)  por \(  a^{n}+b^{n} \) :

\( 2(a^{n}+b^{n})a^{n}?4b^{n}a^{n}\rightarrow2a^{n}+2b^{n}?4b^{n} \)
 

\( a^{n}+b^{n}?2b^{n}\rightarrow a^{n}? b^{n}\rightarrow a^{n}<b^{n} \)
 

pero si de \( 2c^{n}a^{n}?4b^{n}a^{n} \)  pasamos a \( 2c^{n}?4b^{n} \)
 

y \( c^{n}?2b^{n} \), entonces \( c?\sqrt[n]{2}b \)  y nos encontramos que el interrogante puede ser > ó <.

¿Cuál es lo correcto?

Saludos.

26 Mayo, 2020, 08:05 am
Respuesta #554

Luis Fuentes

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Hola

Si en las expresiones \( 2c^{n}a^{n}?4b^{n}a^{n} \)  sustituimos \( c^{n} \)  por \(  a^{n}+b^{n} \) :

\( 2(a^{n}+b^{n})a^{n}?4b^{n}a^{n}\rightarrow2a^{n}+2b^{n}?4b^{n} \)
 

\( a^{n}+b^{n}?2b^{n}\rightarrow a^{n}? b^{n}\rightarrow \color{red}a^{n}<b^{n}\color{black} \)

Entiendo que ahí estas suponiendo que \( a<b \) (y además antes usas que \( a^n+b^n=c^n \)). Con esas dos condiciones se tiene que:

\( c^n=a^n+b^n<2b^n\quad \Rightarrow{}\quad c<\sqrt[n]{2}b \)

Saludos.

26 Mayo, 2020, 11:32 am
Respuesta #555

minette

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Hola Luis

Gracias por tu respuesta 554.

Efectivamente \( a<b \)
 

Yo me inclino por la segunda opción que planteo en mi respuesta 553 porque en la primera aplico la falsedad \( a^{n}+b^{n}=c^{n}  \).

No estoy de acuerdo con tu conclusión

\( c<\sqrt[n]{2} b \) , porque creo que \( c\gtrless\sqrt[n]{2} b \)  .

Saludos.

26 Mayo, 2020, 11:35 am
Respuesta #556

Luis Fuentes

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Hola

No estoy de acuerdo con tu conclusión

\( c<\sqrt[n]{2} b \) , porque creo que \( c\gtrless\sqrt[n]{2} b \)  . .

Si \( a<b \) y además \( c^n=a^n+b^n  \) entonces \( c<\sqrt[n]{2} b \); eso no hay duda. Está demostrado en mi anterior post.

Si no exiges \( a<b \) o \( c^n\neq a^n+b^n  \), entonces \( c \) puede ser "cualquier cosa" y obviamente puede cumplir la desigualdad en cualquier sentido.

Saludos.

29 Junio, 2020, 01:15 pm
Respuesta #557

minette

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Hola

Parto de \( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+4a^{n}c^{n} \)
 

\( c^{n}(c^{n}-4a^{n})?b^{n}(b^{n}-2a^{n})-3a^{2n} \)
 
 

\( (a^{n}+b^{n})(c^{n}-4a^{n})?b^{n}(b^{n}-2a^{n})-3a^{2n} \)
 

\( a^{n}c^{n}-4a^{2n}+b^{n}c^{n}-4a^{n}b^{n}+3a^{2n}?b^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( a^{n}c^{n}-a^{2n}-2a^{n}b^{n}+b^{n}c^{n}?b^{2n} \)
 

\( a^{n}(c^{n}-a^{n}-2b^{n})?b^{n}(b^{n}-c^{n}) \)
 

factor \( a^{n}<  \)factor\(  b^{n} \)
 
factor \( (c^{n}-a^{n}-2b^{n})?(b^{n}-c^{n}) \)  factor

\( 2c^{n}-a^{n}?3b^{n} \)
 

\( 2a^{n}+2b^{n}-a^{n}?3b^{n} \)
 

\( a^{n}?b^{n}\rightarrow a^{n}<b^{n} \)
 

Entonces \( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}<b^{2n}+4a^{n}c^{n} \)
 

O sea: Primer miembro \( (c^{n}-2a^{n})^{2}<(b^{n}-a^{2})^{2} \)  2º miembro.

Por tanto \( c^{n}-2a^{n}<b^{n}-a^{n}\rightarrow c^{n}-a^{n}<b^{n} \)
 

Y \( c^{n}<b^{n}+a^{n}\rightarrow c^{n}\neq b^{n}+a^{n} \)
 

Saludos.

29 Junio, 2020, 04:03 pm
Respuesta #558

Luis Fuentes

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 Con nada parecido a esto vas a llegar nunca a probar que \( c^n\neq a^n+b^n \). Mezclas indentidades triviales. Haces pasos y los deshaces... hasta que cometes un error gordo. Una vez más no usas para nada el carácter entero de las variables.

 Dicho esto:

\( a^{n}(c^{n}-a^{n}-2b^{n})?b^{n}(b^{n}-c^{n}) \)

Fíjate que ahí si \( c^n=a^n+b^n \), se tiene \( c^n-a^n-2b^{n}=-b^n \) y \( (b^n-c^n)=a^n \). Y por tanto lo anterior es claramente una igualdad: \( -a^nb^n=-a^nb^n \).

Es totalmente ilusorio que pienses que de ahí vas a llegar a desigualdad o contradicción alguna.
 

Citar
factor \( a^{n}<  \)factor\(  b^{n} \)
 
factor \( (c^{n}-a^{n}-2b^{n})?(b^{n}-c^{n}) \)  factor

\( 2c^{n}-a^{n}?3b^{n} \)
 

\( 2a^{n}+2b^{n}-a^{n}?3b^{n} \)
 

\( a^{n}?b^{n}\rightarrow a^{n}<b^{n} \)
 

Entonces \( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}<b^{2n}+4a^{n}c^{n} \)
 
El error, que ya has repetido más veces es el siguiente. En:

\( a^{n}(c^{n}-a^{n}-2b^{n})?b^{n}(b^{n}-c^{n}) \)

Es cierto que:

\( a^n<b^n \)

y es cierto que:

\( \underbrace{c^n-a^n-2b^n}_{-b^n}<\underbrace{b^n-c^n}_{-a^n} \)

Pero el problema es que esos dos términos SON negativos, y en ese caso si C,D<0 NO ES CIERTO EN GENERAL que:

\( A<B,\quad C<D\quad \Rightarrow{}\quad AC<BD \)

Por ejemplo:

\( 1<2 \), \( -8<-4 \) pero es falso que \( 1\cdot (-8)<2\cdot (-4) \)

Saludos.

30 Junio, 2020, 12:05 pm
Respuesta #559

feriva

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Hola, minette.

Cuando hagas operaciones con desigualdades, tienes que tener en la cabeza, siempre, que un número “a” es menor que un número “b” si “a” está a la izquierda de “b”; por ejemplo, tres es menor que cuatro porque tres está a mano izquierda del cuatro según se mira al papel así: \( 0,1,2,3,4... \)

Si en las operaciones entran números negativos, la consideración no cambia; -2 es menor que -1 porque la disposición es ésta \( ...-2,-1,0,1,2,3... \).

Es frecuente que los aficionados, en ocasiones, nos despistemos y pensemos en los números conceptuándolos como valores al considerar la relación “menor-mayor”, cuando en realidad es una cuestión de orden (orden visto de esa manera, de izquierda a derecha). Esto hace que nos equivoquemos de múltiples formas al hacer distintas operaciones con desigualdades, ya que, nuestra cabeza se nos va a pensar más en el valor absoluto de los números que en la idea de orden (en especial en problemas donde las variables se definen todas positivas; porque, aun así, al hacer operaciones con ellas y mover las cosas van a aparecernos números negativos).

Por otra parte, también tienes que tener siempre presente que una desigualdad no es una cosa “exacta” como sí lo es una igualdad. Si pensamos en \( a<b \), quiere decir que \( b-a>0 \). Ahora bien, con números reales, puede ser mayor que cero de muchas formas, hay muchas posibilidades. Puede ser muy poco mayor que cero, podría valer, por ejemplo, \( b-a=0,0001 \) y esa desigualdad sería verdad. Y si entraran en medio todos los ceros que fueran, mientras hubiera un 1 u otro número distinto de cero al final, la desigualdad \( b-a>0 \) seguiría siendo cierta. Sin embargo, si hacemos eso, tendremos que \( b-a\approx0
  \); queriendo decir \( b\approx a
  \).

Ahora, supón que b es un número natural, el que sea, 5, por ejemplo; entonces “a” puede valer 4,9 ó 4,99... con todos los nueves que quieras; y la desigualdad es cierta.

Ocurre que, por definición (y porque es una verdad matemática incuestionable y cuyo porqué es fácil de explicar) \( 4,\overset{\frown}{9}
  \) es un número nautural que se llama cinco; es otra forma de escribir el cinco. Así pues, para poder decir que la desigualdad es cierta, debemos poder estar seguros de que detrás del cuatro van todos los nueves que uno quiera, pero nunca tantos nueves como aquí \( 4,\overset{\frown}{9}
  \); porque, entonces, ya no sería cierta la desigualdad, sería una igualdad en toda regla: \( a=b=5 \).

Estar seguro de eso puede llegar a ser tremendamente difícil; es algo que, muchas veces, no se podrá detectar solamente con operaciones algebraicas y, éstas, deberán ir acompañadas de algún apoyo argumental (un ejemplo del tipo de argumento que podríamos llegar a necesitar lo encontramos en la idea de descenso al infinito; que fue pergeñada, precisamente, por el propio Fermat: https://es.wikipedia.org/wiki/Descenso_infinito#Introducción).

Saludos.