Autor Tema: ¿Qué es lo correcto?

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03 Agosto, 2016, 06:19 pm
Respuesta #10

minette

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Hola

Cuando en mi respuesta 6 afirmo que

\( y_0c^n+b<x_0c^n -a \)

y que no existe otra posibilidad, esa afirmación equivale a

\( b+a<c^n (x_0-y_0) \)

Y es al multiplicar el primer miembro \( (b+a) \) por \( b^{n-1} \), y el segundo por \( a^{n-1} \) es de donde sale

\( b^n+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^n+b^n)(x_0-y_0) \)

Saludos.

04 Agosto, 2016, 04:04 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

\( b^n+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^n+b^n)(x_0-y_0) \)

Pero insisto: esa igualdad no equivale a la primera, no equivale a esta:

\( b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)

Cualquier conclusión que saques de una no nos dirá nada útil sobre la otra.

Para que lo entiendas mejor.  Si tienes una igualdad de números positivos de la forma:

\( A(B+C)=D(E+F) \)  (1)

Si \( A>D \) para que se cumpla tiene que darse que \( B+C<E+F \). Pero si ahora trasponemos términos en está última desigualdad: \( B-E<F-C \) de manera que tengamos la desigualdades:

\( A>D \)
\( B-E<F-C \)

aunque se cumpla (1), NO tiene porque cumplirse la igualdad:

\( A(B-E)=D(F-C) \)

Sólo se daría si \( A=D \).

Saludos.

05 Agosto, 2016, 06:55 pm
Respuesta #12

minette

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Hola

Sin entrar a considerar tu respuesta 11, llego por mi misma a afirmar que cometo una barbaridad creyendo equivalentes las igualdades

\( b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)
 

\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^{n}+b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)
 

Ahora tomo otro camino:

\( (K_{1})\frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}\neq\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}}(K_{2}) \)
 

para ello las elevamos al cuadrado y multiplicamos en cruz.

Operando se llega a

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})+a^{2n}\neq c^{n}y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})+b^{2n} \)
 

\( a^{n-1}[c^{n}x_{0}(c^{n}-2a^{n})+a^{n+1}]\neq b^{n-1}[c^{n}y_{0}(2b^{n}-c^{n})+b^{n+1}] \)
 

Si los corchetes son iguales

Primer miembro \( < \)  2º miembro \( \rightarrow K_{1}<K_{2} \)
 

Lo mismo ocurre si el corchete del primer miembro es menor que el del segundo \( \rightarrow K_{1}<K_{2} \).

Por tanto la única posibilidad de que ambos miembros sean iguales pasa porque el corchete del primer miembro sea mayor que el del segundo. Veamos si esto es posible:

\( c^{n}x_{0}(c^{n}-2a^{n})-c^{n}y_{0}(2b^{n}-c^{n}) \)   ? \(  b^{n+1}-a^{n+1} \)
 

\( c^{n}x_{0}(b^{n}-a^{n})-c^{n}y_{0}(b^{n}-a^{n}) \)   ? \( b^{n+1}-a^{n+1} \)
 

\( c^{n}(b^{n}-a^{n})(x_{0}-y_{0}) \)   ? \( b^{n+1}-a^{n+1} \)
 

\( (b^{2n}-a^{2n})(x_{0}-y_{0})>b^{n+1}-a^{n+1} \)
 

Efectivamente vemos que el corchete del primer miembro es mayor que el de segundo.

Entonces para saber si la desigualdad inicial es posible (y no se produce la igualdad) multiplicamos el primer miembro por \( a^{n-1} \)   y el segundo por \( b^{n-1} \)
 

\( a^{n-1}(b^{2n}-a^{2n})(x_{0}-y_{0})  \)  ? \( (b^{n+1}-a^{n+1})b^{n-1} \)
 

\( (b^{2n}a^{n-1}-a^{3n-1})(x_{0}-y_{0}) \)   ? \( b^{2n}-a^{n+1}b^{n-1} \)
 

Prescindimos de momento del factor \( (x_{0}-y_{0}) \)
 

\( b^{2n}a^{n-1}+a^{n+1}b^{n-1}  \)  ? \( b^{2n}+a^{3n-1} \)
 

\( (1) b^{n-1}(b^{n+1}a^{n-1}+a^{n+1}-b^{n+1}) \)   ? \( a^{n-1}a^{2n} \)
 

Por un lado \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

Veamos como son los otros dos factores:

\( b^{n+1}a^{n-1}-b^{n+1}  \)  ? \( a^{2n}-a^{n+1} \)
 

\( b^{n+1}(a^{n-1}-1) \)   ? \( a^{n+1}(a^{n-1}-1) \)
 

por tanto \( b^{n+1}(x_{0}-y_{0})>a^{n+1} \)
 

o sea, los dos factores del primer miembro de (1) son mayores que los dos del segundo.

En consecuencia \( K_{1}>K_{2} \)
 

Las dos fracciones iniciales no son iguales.

Saludos.

17 Agosto, 2016, 05:10 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

 No tengo tiempo de entrar en detalles.

 Pero no estás teniendo en cuenta que en tu razonamiento \( K_1 \) y \( K_2 \) son negativos. Por tanto que \( K_1^2<K_2^2 \) NO significa que \( K_1<K_2 \).

Saludos.

29 Agosto, 2016, 11:50 am
Respuesta #14

minette

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Hola

En mi respuesta 12 concluyo

\( K_1>K_2 \)

Tu dices que \( K_1^2 <K_2^2 \) NO significa  que \( K_1<K_2 \).

Lo importante en mi opinión, es que signifique que \( K_1<K_2 \) ó \( K_1>K_2 \), lo que no puede significar es

\( K_1=K_2 \).

Saludos.

29 Agosto, 2016, 07:54 pm
Respuesta #15

feriva

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Pero sin operar tanto, minette, yo puedo dar valores arbitrarios a “a” y “b”, etc; por ejemplo:

\( a^{3}=\pi\Rightarrow a=\pi^{1/3}=1,464...
  \)

\( b^{3}=e\Rightarrow b=e^{1/3}=1.395...
  \)

\( c^{3}=\pi+e=5,859...\Rightarrow c=1,802...
  \)

\( x_{0}=3
  \)

sustituyendo aquí

\( {\displaystyle \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}}} \)
 

Tienes

\( {\displaystyle \frac{1,464...-3\cdot5,859...}{1,395^{2}...}=\frac{-1,395..-y_{0}\cdot5,859}{1,464^{2}...}}
  \)...

Y si se despeja sale un valor para \( y_{0}
  \) (a lo mejor me he equivocado al sustituir valores o algo, pero eso no cambia que exista, y se pueden dar infinitos valores de manera que esa “y” tenga solución).

Si me dices que hay números irracionales, sí, es cierto, pero qué tiene que ver con que exista o no la igualdad a partir de considerar si son mayores o menores; los irracionales también cumplen ser mayores o menores, es una propiedad que sirve para ellos al igual que para los racionales y, mira, sí existe eso; luego tu consideración tiene que estar mal, porque, si no, funcionaría también para esos valores irracionales, ya que, la relación de orden que usas es más general, no es sólo para enteros ni racionales.

Como te darás cuenta, ese hecho, considerar signos o números mayores y menores, no puede explicar qué pasa con los racionales, no explica por qué no pueden ser racionales y, por ende, por qué no puden ser enteros.

Para demostrar esto es necesario suponer cuestiones de divisibilidad; y usarlas fuertemente; es decir, de manera que impliquen decisivamente deducciones que nos puedan acercar a la demostración.

Piensa que si tuviera soluciones enteras, dividiendo la ecuación por un mismo número, la igualdad las tendría racionales, con decimales, existirían; luego la diferencia en estos tipos de números es diabólicamente esquiva, porque hay que dilucidar por qué esa "cantidad" de decimales no puede ser tan grande como se quiera y finita, pero sí infinita:


para que lo veas, en eso no sería diferente de lo que pasa aquí

\( 3^{2}+4^{2}=5^{2}
  \)

\( \dfrac{3^{2}}{1231}+\dfrac{4^{2}}{1231}=\dfrac{5^{2}}{1231}
  \)

es evidente que las soluciones enteras, si existen, obligan a que existan infinitas igualdades relacionadas de número con decimales, racionales no enteros; luego eso no puede existir para lo que queremos demostrar; y lo que buscamos realmente es, entonces, demostrar que los decimales, la cantidad de éstos, tiene que ser infinita para que no implique la existencia de soluciones enteras (de ahí que sea tan difícil escapar al método de descenso al infinito para demostrar estas cosas; casi no queda más remedio)


Saludos.

30 Agosto, 2016, 12:26 pm
Respuesta #16

minette

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Gracias Feriva

Te informo:

\( a, b, c, n, x_o, y_o \) son ENTEROS.

\( n\geq{3} \).

Te ruego, a partir de lo anterior, reformules tu respuesta 15.

Saludos.

30 Agosto, 2016, 12:50 pm
Respuesta #17

minette

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Hola

Perdona por haberme olvidado de estos datos:

\( c>b>a \)
\( a+b>c \)
\( x_0>y_0 \)

Saludos

30 Agosto, 2016, 01:01 pm
Respuesta #18

Luis Fuentes

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Hola

Entonces para saber si la desigualdad inicial es posible (y no se produce la igualdad) multiplicamos el primer miembro por \( a^{n-1} \)   y el segundo por \( b^{n-1} \)
 

\( a^{n-1}(b^{2n}-a^{2n})(x_{0}-y_{0})  \)  ? \( (b^{n+1}-a^{n+1})b^{n-1} \)

Ahí estás cayendo en el mismo error que habías cometido antes en este hilo.

Tu quieres analizar si es posible la igualdad:

\( a^{n-1}[\color{red}c^{n}x_{0}(c^{n}-2a^{n})+a^{n+1}\color{black}]=b^{n-1}[\color{red}c^{n}y_{0}(2b^{n}-c^{n})+b^{n+1}\color{black}] \) (*)

Pero lo que haces primero es, para comparar los factores en rojo, transpones algunos términos; de manera que te queda:

\( (b^{2n}-a^{2n})(x_{0}-y_{0}) \)  y \( b^{n+1}-a^{n+1} \)

pero ahí algunos tos términos qu estaban a la izquierda ahora están a la derecha y viceversa; entonces no tiene sentido que multipliques a la izquierda por \( a^{n-1} \) y a la derecha por \( b^{n-1} \). Eso no corresponde a la misma expresión que tenías aquí (*).

Gracias Feriva

Te informo:

\( a, b, c, n, x_o, y_o \) son ENTEROS.

\( n\geq{3} \).

Te ruego, a partir de lo anterior, reformules tu respuesta 15.

No tiene nada esencial que reformular. Ni tampoco con este añadido:

Perdona por haberme olvidado de estos datos:

\( c>b>a \)
\( a+b>c \)
\( x_0>y_0 \)

Lo que está diciendo feriva es algo que ya te hemos comentado en otras ocasiones y que no has logrado entender (lo cual supone que continúes dando palos de ciego y perdiendo el tiempo). La ecuación de Fermat y las que derivas de ellas SI tienen soluciones no enteras; si en tus argumentos no usas de manera decisivia que los números que intervienen son enteros (es decir, argumentos que valgan para enteros pero no necesariamente para no enteros), entonces automáticamente se deduce que ese intento de demostración está mal.

Saludos.

30 Agosto, 2016, 06:01 pm
Respuesta #19

minette

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Hola

En más de una ocasión he dicho que \( a, b, c, n\geq{3} \) son enteros.

Me ciño ahora al caso

\( a^2+b^2=c^2 \)

Está demostrado que

\( a^n+b^n<c^n \)  para \( n\geq{3} \)

Vamos a suponer que para otra clase de números se cumple  \( a^n+b^n=c^n \) \( n\geq{3} \)

Pregunto, ¿este  hecho invalida que \( a^n+b^n<c^n \) para \( a, b, c, n\geq{3} \) enteros?

Saludos