Autor Tema: ¿Qué es lo correcto?

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27 Julio, 2016, 12:49 pm
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minette

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Hola

Supongamos que las dos siguientes fracciones son iguales:

\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

entonces

\( a^{n}-x_{0}c^{n}a^{n-1}=-b^{n}-y_{0}c^{n}b^{n-1} \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}) \)
 

de aquí \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Con lo cual las dos fracciones son iguales

Otro razonamiento:

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

para que la igualdad sea posible

\( -b-y_{0}c^{n}<a-x_{0}c^{n} \)
 

\( x_{0}c^{n}-y_{0}c^{n}<a+b \)
 

\( c^{n}(x_{0}-y_{0})<a+b \)
 

como \( x_{0}>y_{0} \)   esta desigualdad es imposible y por tanto las dos fracciones no son iguales.

Saludos.

27 Julio, 2016, 01:30 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola

Supongamos que las dos siguientes fracciones son iguales:

\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

entonces

\( a^{n}-x_{0}c^{n}a^{n-1}=-b^{n}-y_{0}c^{n}b^{n-1} \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}) \)
 

de aquí \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)

Para que ese último paso sea cierto se supone que sabes que:

\( x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}=1 \)
 
Citar
Con lo cual las dos fracciones son iguales

Otro razonamiento:

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

para que la igualdad sea posible

\( -b-y_{0}c^{n}<a-x_{0}c^{n} \)

 

\( x_{0}c^{n}-y_{0}c^{n}<a+b \)
 

\( c^{n}(x_{0}-y_{0})<a+b \)
 

como \( x_{0}>y_{0} \)   esta desigualdad es imposible y por tanto las dos fracciones no son iguales.

Ahí lo que se tiene es que \( (-b-y_{0}c^{n}) \) y \( (a-x_{0}c^{n}) \) son negativos; por tanto lo que he marcado en rojo no es cierto.

Por ejemplo \( 5>3 \) y también \( -3>-5 \) pero \( 5\cdot (-3)=3\cdot (-5) \).

Saludos.

27 Julio, 2016, 06:50 pm
Respuesta #2

minette

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Hola y gracias el_manco

Correcto: \( x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}=1 \)
 

Por otro lado \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

Para saber si

\( -b-y_0c^n<a-x_0c^n \)

comprobemos que

\( y_0c^n+b>x_0c^n-a \)

\( b+a>c^n(x_0-y_0) \)

y esto no es cierto.

Y si esto no es cierto, tampoco es cierto que

\( -b-y_0c^n <a-x_0c^n \)

con lo cual me corrijo a mi misma.

Pero si lo anterior no es cierto será cierto \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y entonces la igualdad no es posible.

Saludos.

28 Julio, 2016, 09:53 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Pero si lo anterior no es cierto será cierto \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y entonces la igualdad no es posible.

Vuelves a insistir en el mismo error. Es perfectamente compatible que \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y que la igualdad sea cierta.

Te lo indiqué con un ejemplo aquí:

Por ejemplo \( 5>3 \) y también \( -3>-5 \) pero \( 5\cdot (-3)=3\cdot (-5) \).

Es decir, puede ocurrir perfectamente que \( b^{n-1}>a^{n-1} \), \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y al mismo tiempo que \( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \), ya que \( -b-y_0c^n<0 \).

Te lo escribo de otra manera para que lo veas más claro.

La igualad:

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)

equivale a (sin más que cambiar de signo) a:

\( b^{n-1}(b+y_0c^n)=a^{n-1}(x_0c^n-a) \)

La desigualdad \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) equivale a (sin más que cambiar de signo ambos términos y por tanto cambiar el sentido de la desigualdad):

\( b+y_0c^n<x_0c^n-a \)

Entonces (ahora con todos los factores positivos) tenemos que:

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)

\( b+y_0c^n<x_0c^n-a \)

y

\( b^{n-1}(b+y_0c^n)=a^{n-1}(x_0c^n-a) \)

No hay nada contradictorio ahí.

Saludos.

28 Julio, 2016, 06:42 pm
Respuesta #4

minette

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Hola el_manco

En tu razonamiento (respuesta 3) das por cierta la desigualdad

\( -b-y_{0}c^{n}>a-x_{0}c^{n} \)   sin nada que lo justifique . Idem para \( y_{0}c^{n}+b<x_{0}c^{n}-a \).

En el inicio de este hilo escribo

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

¡Ojo! Pero enseguido escribo:

para que la igualdad sea posible.

Es decir: he supuesto arriba el signo = .

Finalmente terminas:

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

\( b+y_{0}c^{n}<x_{0}c^{n}-a \)
 

Nada autoriza a afirmar, como haces, que el producto de los dos primeros miembros de las citadas desigualdades sea igual al producto de los segundos miembros.

Saludos.

29 Julio, 2016, 11:02 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hola el_manco

En tu razonamiento (respuesta 3) das por cierta la desigualdad

\( -b-y_{0}c^{n}>a-x_{0}c^{n} \)   sin nada que lo justifique . Idem para \( y_{0}c^{n}+b<x_{0}c^{n}-a \).

Lo que digo es que esas dos desigualdades son la misma sin más que transponer términos o cambiar de signo.

Citar
En el inicio de este hilo escribo

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

¡Ojo! Pero enseguido escribo:

para que la igualdad sea posible.

Es decir: he supuesto arriba el signo = .

Finalmente terminas:

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

\( b+y_{0}c^{n}<x_{0}c^{n}-a \)
 

Nada autoriza a afirmar, como haces, que el producto de los dos primeros miembros de las citadas desigualdades sea igual al producto de los segundos miembros.

Es que yo no digo que esas desigualdades e igualdad TENGAN que darse; lo que digo es que NO es imposible, con las premisas que se han manejado, que sean ciertas. Es decir AFIRMO que son relaciones COMPATIBLES, que pueden darse. Que se den o no, dependerá de los valores concretos de las variables o de hipótesis adicionales que puedan hacerse intervenir.

En otras palabras lo único que he querido señalar es que estos dos razonamientos que haces están mal:

como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 
para que la igualdad sea posible

\( -b-y_{0}c^{n}<a-x_{0}c^{n} \)

Pero si lo anterior no es cierto será cierto \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y entonces la igualdad no es posible.

Saludos.

01 Agosto, 2016, 01:18 pm
Respuesta #6

minette

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Hola

Me declaro culpable de haber organizado este lío.

Tenía que haber iniciado este hilo así:

Se trata de demostrar que las fracciones

\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}  \)  y \( \frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

NO son iguales.

Multiplicando en cruz se llega a \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

con lo cual se demuestra que no son iguales.

Con esta convicción trataba de demostrar la desigualdad de las dos fracciones por otro camino y decía: Si FUERAN iguales

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

o bien

\( b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)
 

como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

El factor \( (y_{0}c^{n}+b) \)   No puede ser igual, ni tampoco mayor, al factor \( (x_{0}c^{n}-a) \).
 

Tiene que ser

\( (y_{0}c^{n}+b)<(x_{0}c^{n}-a) \)
 

Si fueran iguales:

\( y_{0}c^{n}+b=x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a=c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

lo cual es imposible:

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

Si \( y_{0}c^{n}+b>x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a>(x_{0}-y_{0})c^{n} \)
 

Lo cual es imposible

Entonces la única posibilidad es

\( y_{0}c^{n}+b<x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

Lo cual es cierto

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^{n}+b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)
 

\( b^{n}+b^{n-1}a=(a^{2n-1}+a^{n-1}b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)
 

Si prescindimos del factor \( (x_{0}-y_{0}) \)   positivo

\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{2n-1}+a^{n-1}b^{n} \)
 

El término \( b^{n}<a^{n-1}b^{n} \)
 

El término \( b^{n-1}a \)   ? \( a^{2n-2}\cdot a \)
 

\( b^{n-1} \)   ? \( a^{2n-2} \)
 

\( b^{n-1}  \)  ? \( a^{n-1}a^{n-1} \)
 

sacando raiz \( b^{n-1} \)   :

\( b<a^{2} \)

Saludos.
 

02 Agosto, 2016, 11:09 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Tenía que haber iniciado este hilo así:

Se trata de demostrar que las fracciones

\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}  \)  y \( \frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

NO son iguales.

Multiplicando en cruz se llega a \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

con lo cual se demuestra que no son iguales.

De manera más precisa se demuestra que la igualdad de esas fracciones (y teniendo en cuenta las especiales características de \( x \) e \( y \) que apenas has citado de pasada en este hilo, pero si has detallado en otros) equivale a la igualdad de \( a^n+b^n=c^n \). Supuesto que admitimos que esta igualdad no se da, entonces tampoco se da la de las fracciones que indicas.

Citar
Con esta convicción trataba de demostrar la desigualdad de las dos fracciones por otro camino y decía: Si FUERAN iguales

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

o bien

\( b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)
 

como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

El factor \( (y_{0}c^{n}+b) \)   No puede ser igual, ni tampoco mayor, al factor \( (x_{0}c^{n}-a) \).
 

Tiene que ser

\( (y_{0}c^{n}+b)<(x_{0}c^{n}-a) \)
 

Si fueran iguales:

\( y_{0}c^{n}+b=x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a=c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

lo cual es imposible:

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

Si \( y_{0}c^{n}+b>x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a>(x_{0}-y_{0})c^{n} \)
 

Lo cual es imposible

Entonces la única posibilidad es

\( y_{0}c^{n}+b<x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

Lo cual es cierto

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)

Hasta aquí de acuerdo.

Pero ahora ya no sé a que viene ni de donde sale esta igualdad (y por tanto lo que sigue):
 
Citar
\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^{n}+b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)
 
Saludos.

P.D. Como te he repetido por activa y por pasiva si esto pretende ser una demostración del Teorema de Fermat, a vuelapluma es inmediato ver que está mal: no se usa de manera decisiva en ningún sitio que las variables implicadas toman valores enteros. Y para números reales la ecuación de Fermat si tiene soluciones no triviales.

03 Agosto, 2016, 12:52 pm
Respuesta #8

minette

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Hola

La igualdad que dices "no sé a qué viene ni de donde sale (y por tanto lo que sigue)", viene del producto de las dos desigualdades:

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
\( b+a<c^n(x_0-y_o) \)

y si pongo el signo = es porque no te gusta que ponga el ? para esperar hasta el final determinar el signo real del ?

De otro modo

Asi como

\( 25>10 \)
\( 30<45 \)

Para que la suma de las dos desigualdades tome el signo =, tiene que ocurrir que 25-10= 45-30

Por lo mismo de

\( b^{n-1}> a^{n-1} \)
\( b+a<c^n(x_0-y_0) \)

entonces
\( b^{n-1}-a^{n-1}=c^n(x_0-y_0)-(b+a) \)

y esta igualdad no es posible.

Saludos.

03 Agosto, 2016, 01:07 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

La igualdad que dices "no sé a qué viene ni de donde sale (y por tanto lo que sigue)", viene del producto de las dos desigualdades:

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
\( b+a<c^n(x_0-y_o) \)

y si pongo el signo = es porque no te gusta que ponga el ? para esperar hasta el final determinar el signo real del ?

Pero es que no es esa la cuestión. La pregunta es a que viene estudiar la posible igualdad:

\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^{n}+b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)

Si la intención inicial era estudiar la posible igualdad:

\(
b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)

No acabo de ver que la igualdad (o no) de una implique la igualdad (o no) de la otra.

Saludos.