Autor Tema: ¿Qué es lo correcto?

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30 Agosto, 2016, 06:55 pm
Respuesta #20

feriva

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Te ruego, a partir de lo anterior, reformules tu respuesta 15.

Voy a hacer algo mejor, aunque sea largo. Voy a analizar (como lo hago para mí con cualquier problema) la herramienta que estás usando; quizá te dé ideas para tomar otro camino mejor en cuanto al ataque del intento de demostración; lo dejo en spoiler

Spoiler

Pongo un ejemplo sobre la marcha de una ecuación diofántica lineal:

\( 35x+30y=20
  \)

Para que tenga solución, el máximo común divisor de los coeficientes, 35 y 30 en este caso (que es mcd=5) debe dividir al término independiente de la ecuación, que es 20; y se cumple.

Despejando cualquier sumando y sacando el factor común más grande se ve

\( 35x=20-30y\Rightarrow35x=5(4+6y)
  \)

Y el factor común más grande, que no es otra cosa que el m.c.d., divide al coeficiente de x

(la afirmación inicial se puede demostrar formalmente y no es difícil, se basa en esto mismo).

Existe siempre al menos un factor común igual o más pequeño, el 1, pero, al ser el mínimo, sólo es el m.c.d. de (a.b) cuando los números “a”, y “b” son coprimos

Una vez que sabemos que van a existir soluciones, empezamos aplicando el algoritmo de Euclides. Pero si a uno le interesan estas cosas porque tiene pretensiones de intentar una demostración de algo relacionado, es obvio que uno no debe contentarse con conocerlo como una simple receta, hay que saber por qué funciona, hay que saber qué es; si no, ¿cómo vamos a poder deducir cosas relacionadas?

En primer lugar, intuitivamente, podemos pensar en dos segmentos largos de distinta longitud. Si vamos montando el segmento corto a lo largo del otro pueden pasar dos cosas: que al final nos sobre un trozo de ese segmento o no nos sobre nada, en cuyo caso el segmento corto dividiría al largo.

Supongamos que sobra un trozo “r”. Ese sobrante es el resto o residuo. Si ahora tomamos el resto y medimos con él, de la misma manera, el propio segmento corto que hemos utilizado como medida del largo, y si hecho eso también nos sobra, ese nuevo sobrante o resto será, obviamente, más corto que el segmento largo que estamos midiendo; por tanto, tenemos un residuo más pequeño que antes. La simple intuición nos hace ver que, repitiendo este proceso, llegaremos a que no nos sobre nada, o sea, a encontrar un trozo con el que medir en partes exactas al anteriormente usado; y eso trozo será una medida común para los dos segmentos iniciales  que teníamos.

Escrito como teorema, el algoritmo de Euclides dice que dados dos enteros “a” y “b” (con a>b) y siendo “d” el máximo común divisor de ambos y “r” el sobrante de la división (el resto) ocurre que el máximo común divisor de los valores “b” y “r” tienen el mismo máximo común divisor “d”.

Demostrar esta afirmación es sencillo y mucho más fácil que intentar demostrar Fermat, desde luego; sera bueno intentar hacerlo, porque difícilmente podremos demostrar cosas complicadas si antes no demostramos primero lo sencillo:

Sea “d” el m.c.d. de “a” y “b”; o sea \( (a,b)=d \)

Entonces podemos escribir “a” y “b” en función de ese divisor común:

\( a=k_{1}d
  \), \( b=k_{2}d
  \)

Por otra parte, al dividir “a” entre “b”, tenemos esto

*\( a=b\cdot cociente+resto
  \) o sea \( a=b\cdot q+r
  \)

Y sustituyendo es

\( k_{1}d=b=k_{2}d\cdot q+r
  \)

\( d(k_{1}-k_{2}q)=r
  \)

Lo que implica que “d” es divisor de “r”.

Como “d” es también divisor de “b”, entonces “d” es un divisor común de “b” y “r”. Ahora bien, esto todavía no demuestra el teorema del todo, porque no se ha demostrado aún que sea el divisor más grande de ambos, el máximo, que sería el propio “d”; y que es lo que se va a demostrar seguidamente:

Llamemos \( d_2 \), entonces, a ese divisor común de “b” y “r”; es decir: \( (b,r)=d_{2}
  \)

Análogamente a como hemos hecho antes, escribimos “b” y “r” en función del divisor común:

\( b=m_{1}d_{2}
  \) y \( r=m_{2}d_{2}
  \)

Yéndonos más arriba, a donde está el asterisco, es decir, a esta expresión \( a=b\cdot q+r
  \), sustituimos:

\( a=m_{1}d_{2}\cdot q+m_{2}d_{2}
  \)

Donde vemos que \( d_2 \) es común a los dos sumandos y, por tanto, divisor de “a”.

Entonces, como también es divisor de \( b \), ocurre que si divide a los dos es porque divide a su máximo común divisor, pues es lo que tienen de común ambos en cuanto a factores; o sea, \( d_2 \) es divisor de \( d \).

Pero, al mismo tiempo, \( d
  \) es divisor de \( d_2 \), porque es divisor de “b” y “r” que tienen de divisor común a “d”.

Luego \( d=d_2 \); ya que, dos números diferentes no pueden ser divisores a la vez uno del otro; por ejemplo, 5 divide a 10, pero 10 no divide a 5; obviamente, porque es mayor.

...

Demostrado esto, vamos a ver un ejemplo práctico tomando dos números cualesquiera: 210 y 77, que, de antemano, podemos ver que tienen de m.c.d.= 7, porque \( 210=2*3*5*{\color{blue}7}
  \) y \( 77={\color{blue}7}*11
  \)

Empezamos haciendo lo dicho, dividimos \( 210/77
  \), toca a 2 y el resto es 56.

Por lo demostrado en el teorema, 77 y 56 tienen que tener el mismo m.c.d; y en efecto así es, 7 divide a ambos y no hay un divisor común más grande.

Luego tenemos estas parejas con el mismo mcd: (210,77) y (77,56)

Seguidamente dividimos 77 entre 56.

Toca a 1 y el resto se ve a primera vista \( 77-56=21 \)

Una vez más, por lo ya demostrado, 56 y 21 tienen el mismo m.c.d.

Tenemos estas parejas con el mismo m.c.d: (210,77) y (77,56) y (56,21)

Y ahora dividimos 56 entre 21, toca a 2 y el resto es 14.

Luego tenemos estas parejas con mcd=7: (210,77) y (77,56) y (56,21) 7 (21,14)

Seguimos dividiendo 21 entre 14, que toca a 1 y el resto es 7; resultando que este último resto es el m.c.d de todas las parejas; evidentemente, al haber llegado aquí, la siguiente división, 14 entre 7, dará resto cero y el proceso acabará.

...

Volvamos a la ecuación que ponía al principio:

\( 35x+30y=20
  \)

Como en el ejemplo, procedemos dividiendo 35 entre 30, la primera pareja de números. El cociente es 1 y el resto es obviamente 5; lo expresamos según el algoritmo de la división:

\( 35=30\cdot1+5
  \)

Tenemos las parejas (35,30) y (30,5) con m.c.d=5; o sea, que ya nos ha salido el resto que tiene el valor del m.c.d.

Dividimos 30 entre 5 y el resto es cero

\( 30=5\cdot6+0
  \)

luego, como ya se ha visto en el ejemplo anterior, al ocurrir esto, el m.c.d coincide con este último divisor utilizado, 5; claro, pues todas las parejas tienen el mismo m.c.d., pero al llegar aquí es cuando lo vemos (sin necesidad de descomposciones previas, digo).

Tomando entonces esta última igualdad (la que tiene el resto igual al m.c.d) ésta

\( 35=30\cdot1+5
  \)

despejamos el resto y ya vemos los coeficientes de “x” e “y” de 35 y 30:

\( 5={\color{blue}35}\cdot{\color{red}1}+({\color{red}-1}){\color{blue}30}
  \) en este caso hemos acabado enseguida.

(en casos con más pasos, como en el del ejemplo en que tomaba los números 210,77, habría que ir sustituyendo la expresión algebraica de los restos, -desde la última igualdad, la que tiene por divisor el m.c.d- hasta llegar a donde hemos empezado, para así encontrar los coeficientes de forma similar a como se hace en este sencillo caso; pero con cuidado de no perderse uno, siempre mirando a qué números queremos llegar).

Lo que hay que hacer ahora, seguidamente, es que el término independiente (en este caso 5, el que no está multiplicado por coeficientes -los cuales he señalado en rojo-) sea el mismo de la ecuación diofántica; que es 20. Luego multiplicamos toda la igualdad por 4 para conseguir lo dicho:

\( 5\cdot4={\color{blue}35}\cdot{\color{red}1\cdot4}+({\color{red}-1\cdot4}){\color{blue}30}
  \)

Y ahora vemos que los números rojos, los coeficientes, son “x” e “y”, ya que están acompañados de los factores 35 y 30 de la ecuación:

\( 20={\color{blue}35}{\color{red}x}+{\color{blue}30}{\color{red}y}
  \)

Luego unas soluciones particulares son:

\( x_{0}=4
  \)

\( y_{0}=-4
  \)

Demostrar cuál es la forma de las soluciones generales es muy sencillo, basta plantear el sistema de ecuaciones siguiente:

\( ax+by=c
  \)

\( ax_{0}+by_{0}=c
  \)

Claro, porque \( x_{0}
  \) es también “x”, es uno de los valores de “x”, y lo mismo pasa con “y”, así que ambas expresiones darán un mismo resultado “c”.

Restando a la primera ecuación la segunda, y sacando factores comunes “a” y “b”, tenemos:

\( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=c-c
  \)

\( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0
  \)

y de ahí llegamos a

\( a(x-x_{0})=-b(y-y_{0})
  \)

o lo que es igual

\( a(x-x_{0})=b(y_{0}-y)
  \)

Ahora dividimos entre el m.c.d de “a” y “b” (al que llamamos “d”) a los dos lados:

\( \dfrac{a}{d}(x-x_{0})=\dfrac{b}{d}(y_{0}-y)
  \)

Al hacer esto, los valores “a” y “b” han sido divididos por todos sus factores comunes, así que “a/d” y “b/d” son coprimos.

Entonces, si ahora dividimos entre (a/b) a los dos lados, nos queda

\( (x-x_{0})=\dfrac{(\dfrac{b}{d})(y_{0}-y)}{(\dfrac{a}{d})}
  \)

Como \( (x-x_{0})
  \) es un entero, el otro miembro de la igualdad también lo es, y al no dividir “a/d” a “b/d”, por ser coprimos, tiene que dividir a \( (y_{0}-y)
  \) para que \( (x-x_{0})
  \) sea entero.

Esto implica, naturalmente, que \( (y_{0}-y)
  \) se pueda expresar en función de este divisor suyo \( \dfrac{a}{d}
  \) multiplicado por un cierto entero “k”:

\( y_{0}-y=k\cdot\dfrac{a}{b}
  \)

de donde despejando tenemos el valor de “y”:

\( y=y_{0}-k\cdot\dfrac{a}{d}
  \)

Con el mismo razonamiento, siguiendo los pasos análogos, llegaremos a obtener “x”:

\( {\color{blue}x=x_{0}+\dfrac{b}{d}k}
  \)

En el caso de nuestra ecuación sería

\( x=x_{0}+\dfrac{30}{5}k
  \)

\( y=y_{0}-\dfrac{35}{5}k
  \)

\( x=4+6k
  \)

\( y=-4-7k
  \)

Y así funciona básicamente (se podría decir más) lo que es una ecuación lineal diofántica. No te hago ninguna crítica “técnica” en esta ocasión, simplemente reflexiona tú lo que quieras. Tampoco estoy dando “una clase” a nadie, simplemente analizo y razono en voz alta (con los aciertos y con los errores que pueda tener). Pero una cosa es cierta, estas cosas que usas se basan en unas demostraciones previas y fíjate en qué argumentos se utilizan; ¿se habla de mayores, menores, signos? Nada o casi nada; y las demostraciones ésas no me las he inventado yo, las he leído. El material que se usa para demostrarlas es divisibilidad, divisibilidad y más divisibilidad; y eso es lo que, a la vez, hay que plantear para poder demostrar cosas con ellas, con las ecuaciones diofánticas.



Y, aparte de esto, algo más para reflexionar:

\( 5>3 \); una desigualdad cualquiera.

Elige ahora cualquier tanda de números, arbitrariamente. Elige una segunda tanda, también arbitrariamente.

Toma estas dos cosas \( 5, \) y \( 3, \) y, seguidamente, del mismo arbitrio modo, ponles detrás las tandas de números; voy hacerlo a ver qué pasa:

\( 5,1123221 \) 

\( 3,9999999998888 \)
Por casualidad le he puesto los números más grandes al más pequeño, 3, y además son más números, pero sigue siendo menor que el otro; luego no puede cambiar la desigualdad este hecho.

[cerrar]

Saludos

31 Agosto, 2016, 12:03 pm
Respuesta #21

minette

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Hola

Gracias Feriva por tu respuesta 20 con su spoiler. Has trabajado mucho para mí. Gracias otra vez.

Ahora por favor te pido a tí, y a todos los usuarios y moderadores que contestéis a la pregunta que formulo en mi respuesta 19.

Saludos.



31 Agosto, 2016, 12:12 pm
Respuesta #22

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Me ciño ahora al caso

\( a^2+b^2=c^2 \)

Está demostrado que

\( a^n+b^n<c^n \)  para \( n\geq{3} \)

Vamos a suponer que para otra clase de números se cumple  \( a^n+b^n=c^n \) \( n\geq{3} \)

Pregunto, ¿este  hecho invalida que \( a^n+b^n<c^n \) para \( a, b, c, n\geq{3} \) enteros?

No sé si te estoy entendiendo.

Si trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces se cumple que \( a^n+b^n<c^n  \) para \( n\geq 3 \) independientemente de que los números \( a,b,c \) sean o no enteros (bajo la única premisa de que sean positivos).

Si NO trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \) entonces el hecho de que existan números (posiblemente no enteros) verificiando  \( a^n+b^n=c^n \) \( n\geq{3} \) no dice nada (ni quita ni pone) respecto a que se cumpla o no que \( a^n+b^n<c^n \) para \( a, b, c, n\geq{3} \) enteros.

Saludos.

31 Agosto, 2016, 01:56 pm
Respuesta #23

feriva

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Hola

Gracias Feriva por tu respuesta 20 con su spoiler. Has trabajado mucho para mí. Gracias otra vez.

Ahora por favor te pido a tí, y a todos los usuarios y moderadores que contestéis a la pregunta que formulo en mi respuesta 19.

Hola, minette. De nada, lo hago con toda mi buena voluntad para que logres visualizar la cuestión de la misma manera que lo intento yo (no sólo el de Fermat, si no el de tantas cosas involucradas) que intento, digo, porque tampoco digo que la visualice maravillosamente, ni mucho menos.

En cuanto a la respuesta ya ha contestado el_manco, qué podría añadir yo... Como mucho puedo intentar ilustrar con un ejemplo lo mismo que él nos ha dicho.

Spoiler

¿Qué condiciones tomas para los números en cuanto a que puedan ser enteros?, ¿se consideran pares, coprimos, etc?

Realmente, cuando decimos, por ejemplo, “a” es un entero par y entonces “a+1” es impar, no es verdad que “a” sea un entero par ni impar ni entero ni nada, es una letra; pero se habla así, y en realidad deberíamos decir (no hace, falta porque se sobreentiende) que “si a es un par...” (si lo fuera, condicionado a eso) “entonces a+1 sería un impar”.

Pero también para esa misma letra podemos decir “si 'a' valiera 1/2” (condicionalmente) “entonces tendríamos 2·a – 1=0”; y la letra es la misma, lo que cambia es lo que suponemos de ella.

Veamos un ejemplo:

Hagamos particularmente \( n=3
  \), que con eso nos va a valer.

Hagamos también \( a=5+x
  \) y hagamos \( b=7+y
  \); estos números están elegidos a voleo, pero si “x” puede tomar valor positivo o negativo podemos representar cualquier número con eso pese a la arbitrariedad:

Toma cualquier a voleo, \( -231 \), entonces

\( a=5+x=5+(-231)=-226
  \)

Con el siete, igual, o eligiendo otros números, igual, vamos a representar un “a” más grande o más pequeño sea cual sea su valor; dicho sea de paso, yo diría que aquí se esconde una propiedad muy antigua que ya Arquímedes usaba (y antes de su época, seguramente).

Ah, se me había olvidado; dicho lo cual, tomemos también un \( c=(11+z)
  \) tal que

\( c=(11+z)=(5+x)+(7+y)=12+x+y
  \)

Expuesto esto, buscamos la igualdad

\( (5+x)^{3}+(7-y)^{3}=(12+x+y)^{3}
  \)

Nadie ha impuesto aquí ni a la “x” ni a la “y” ninguna condición de divisibilidad, por tanto, como ellas no saben quiénes son, por mucho que les digas que son enteros, al hacer las cuentas, según las reglas del álgebra de batalla (que sirven para todos los números reales) podrán ser cualquier número real.

De hecho, yo puedo elegir arbitrariamente un valor para una de las variables, como por ejemplo \( x=\pi
  \) y mirar a ver si existe un valor real para “y”; por qué no, ¿acaso alguien ha dicho que esas variables tienen que ser pares o múltiplos de 23 o algo parecido? Nadie ha puesto una condición propia de los enteros; y haciendo las cuentas te saldrá que existe esa “y”, su valor en números reales ronda esta cantidad \( -3,338
  \).
 
Y con ese valor, con pi y lo demás, puedes hallar el valor de de la terna (a,b,c); no son enteros, pero ¿quién a puesto restricciones de divisibilidad para considerar si pueden serlo o no? Yo no encuentro esas restricciones, encuentro restricciones en cuanto al orden, a lo de ser mayor o menor.

Ante este panorama, la conclusión es que, al menos, existen números no enteros tales que se puede dar la igualdad, pero no sabemos nada de qué puede pasar con los enteros.

En este caso tenemos

\( a^{2}=66,28...
  \)

\( b^{2}=106,87...
  \)

\( c^{2}=341,49...
  \)

\( a^{2}+b^{2}<c^{2}
  \)

Donde se cumple la desigualdad que dices para los cuadrados, pero, sin embargo, se da la igualdad para los cubos; no tiene por qué coincidir que yo vea (salvo que me haya equivocado, que eso sí es posible).

perdona, que planteabas la igualdad de los cuadrados, no la desigualdad; en cualquier caso, el problema es el ya dicho, que no se definen condiciones para los enteros y no se puede saber nada
[cerrar]

Saludos.

31 Agosto, 2016, 06:34 pm
Respuesta #24

minette

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Hola

Muchísimas gracias el_manco.

De tu respuesta 22 me quedo con: "Si trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces se cumple que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \), independientemente de que los números \( a<b<c \), sean o no enteros (bajo la única premisa de que sean positivos).

Trabajo ahora bajo la hipótesis \( a^2+b^2<c^2 \)

Está demostrado que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \) siendo \( c>b>a \).

Vamos a suponer que para otra clase de números cumpliendo \( a^2+b^2<c^2 \) y \( c>b>a \) se llega a \( a^n+b^n<c^n \) \( n\geq{3} \)

Pregunto este último hecho ¿influye o invalida la demostración inicial?

Saludos.


31 Agosto, 2016, 07:37 pm
Respuesta #25

feriva

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 quedo con: "Si trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces se cumple que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \), independientemente de que los números \( a<b<c \), sean o no enteros (bajo la única premisa de que sean positivos).


Pero piensa que si te apoyas en eso sólo conseguirías demostrarlo para las ternas pitagóricas; quiero decir, yo puedo tomar estas dos ternas

(3,4,5) y (48,55,73)

y cambiar un número


(3,4,73) y (5,48,55)

de forma que tenga ternas no pitagóricas; y puedo hacer infinitos cambios porque hay infinitas ternas. ¿Cómo demostrarías que no puede existir la igualdad para cierto “n” y ciertas ternas no pitagóricas?

Saludos.

Añado

Spoiler
Te voy a decir una cosa que nunca te han dicho: de hecho, el teorema de Fermat es falso (mira los ojos que deben de estar poniendo todos los moderadores)

Sí, lo que pasa es que también es verdadero; depende de las reglas que establezcamos en el juego.

Este número tiene 230 cifras:


1796949159794106673291612844957324615636756180801260007088891//
8835531726460341490933493372247868650755230855864199929221814//
4366847228740520652579374956943483892631711525225256544109808//
19170611742509702440718010364831638288518852689


La parte entera de su raíz cúbica es

2619259915565703028701681495465270233270616921388372483367901//5332572932603904

Si elevamos al cubo esta parte entera nos da un valor menor que el número, como es lógico, porque le falta la mantisa; sin embargo, la proporción entre ambos valores se acerca bastante a 1, es

1.0000000000000295

(los cálculos los he hecho con un programa para estas cosas, una calculadora no podría con números tan grandes, como es natural).

Si tomamos un número muchísimo más pequeño, como puede ser 53, la parte entera de su raíz cúbica es 3, y si elevamos 3 al cubo es 27; la proporción es 53/27, igual a 1.962; casi 2, lo que significa que los números son menos parecidos que en el caso de los grandes.

Pero los números pueden tener cifras sin fin; ¿qué hubiera pasado en ese caso en cuanto a la proporción del número grande y la parte entera de su raíz elevada al cubo? Si la cantidad de cifras fuera infinita, la proporción hubiera sido ésta

1.0000000000000000000000...
 
y nunca encontraríamos más que ceros, nunca; por tanto, el resultado teórico en ese caso ha de ser 1, lo que implica que todo número “natural” de infinitas cifras tiene raíz cúbica “exacta” siempre; y no sólo cúbica, de todos los colores.

 Por lo que el UTF falla con esos “naturales”, resulta falso.

Pero las reglas del juego (las habituales al considerar estos problemas) no son ésas, porque un número de infinitas cifras, aunque no tenga coma, no es, por definición, un número natural ni entero tampoco.


Quizá estés pensando que (como yo no soy matemático, ni físico ni nada de esto) no me he enterado bien del asunto y estoy equivocado. Pues si lo pensaras, no es así.  Esto yo tampoco lo sabía hasta hace unos años, no lo tenía claro, me lo aclaró un día Carlos Ivorra (y precisamente se lo comenté hace muy poco a Proyecto en el hilo del  UTF 5).

Yo sí que había pensado de antes de entrar al foro en cosas como que un número que no acaba no puede ser par (porque al no acabar no acaba en cero o en par, ni múltiplo de 3, porque sus cifras nunca suman un múltiplo de tres, ya que no tienen fin y no suman un múltiplo de nada...) y más cosas, pero no había captado el concepto és que te he contado del todo; mucho de lo que sé lo he aprendido de los usuarios de este foro; de todos, no sólo de los que son profesores o alumnos avanzados, de ti también. Como dice el dicho latino “relata refero”, sólo cuento lo que he oído.

El propio Wiles dice en el minuto 05:26 de este vídeo

https://vimeo.com/27711778

algo así: “ Fermat sólo dijo que nunca encontraríamos números que cumplieran esta condición...”

No dice “no se cumple o no hay números...”, dice que nunca los encontrará nadie; y sabe muy bien lo que dice, porque sabe eso de los números de infinitas cifras que he dicho.

No importa la coma, con coma o sin coma el problema es el mismo, no está la cuestión ahí:

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}
  \)

\( \dfrac{a^{n}}{c^{n}}+\dfrac{b^{n}}{c^{n}}=1
  \)

\( (\dfrac{a}{c})^{n}+(\dfrac{b}{c})^{n}=1
  \)

Esos números de los paréntesis, si son coprimos, no son enteros nunca, ni ellos ni sus potencias. Luego el teorema escrito así dice, también, que no hay números no enteros, elevados a una misma potencia, que sumen 1. Y se refiero no sólo a no enteros, si no a no enteros con número finito de cifras; porque con infinitas cifras pasa lo mismo que los muy grandes, sí los hay.
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01 Septiembre, 2016, 12:53 pm
Respuesta #26

minette

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Hola Feriva

En cierta respuesta tuya preguntaste por la condición de los enteros \( a,b,c \), y la única condición es \( c>b>a \), con esta condición puedes emplear los que quieras (primos, coprimos, pares, impares, etc.).

Yo trato de abordar el UTF considerando 3 casos:

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)

la condición que he citao antes es para los dos primeros casos, a los cuales me he referido hasta este momento.

A la cuestión que en los dos casos citados planteo no me la has contestado.

El_manco me ha contesta a una de ellas.

Ya sé que el caso \( a^2+b^2=c^2 \)

se refiere a ternas pitagóricas exclusivamente. Cualquier variación que hagas en cualquier terna pitagórica llegará  a

\( a^2+b^2<c^2 \)
ó
\( a^2+b^2>c^2 \)

siempre con \( c>b>a \)

Saludos.

01 Septiembre, 2016, 01:16 pm
Respuesta #27

feriva

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Hola, minette, muy buenos días.

Te contesto a título de aficionado que es lo que soy, espera la respuesta de el_manco o cualquier moderador (o aunque no sea moderador, pero que sepa más) para tomarla como digamos oficial.

Citar
Cualquier variación que hagas en cualquier terna pitagórica llegará  a...

Creo que todo árbitro de demostraciones te diría que tienes que argumentar la afirmación que haces de manera que se vea y no quede ninguna duda de lo que aseveras; a base de razonamientos y partiendo de las definiciones y axiomas de los números enteros. Es decir, yo no te digo que no pase eso, no lo sé, porque hay tantos números que no estoy completamente seguro de lo que pueda pasar.

Saludos.

01 Septiembre, 2016, 06:35 pm
Respuesta #28

minette

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Hola Feriva

Ten la seguridad de que sabes más de matemáticas que yo.

Dicho esto si estás de acuerdo en que dados tres enteros \( a,b,c \) ; con \( c>b>a \) ; con sus cuadrados SÓLO pueden darse estas tres posibilidades:

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)

Para argumentar la afirmación anterior creo que basta la lógica del Sentido Común.

Ahora bien, como es bien sabido que el Sentido Común es el MENOS común de los sentidos, no excluyo que sea una barbaridad. De esto, de barbaridades, me he acusado bastantes veces a mí misma y el_manco es testigo de ello.

Si la terna pitagórica \( (5,12,13) \) la cambiamos por \( (5,8,13) \), entonces \( 5^2+8^2<13^2 \)

y si la cambiamos por \( (11,12,13) \)

\( 11^2+12^2>13^2 \)

y, repito, no hay más posibilidades.

Saludos.

01 Septiembre, 2016, 07:30 pm
Respuesta #29

feriva

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Hola, buenas tardes, minette.

Citar

Dicho esto si estás de acuerdo en que dados tres enteros \( a,b,c \) ; con \( c>b>a \) ; con sus cuadrados SÓLO pueden darse estas tres posibilidades:

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)

Para argumentar la afirmación anterior creo que basta la lógica del Sentido Común.

Sí, de eso te puedo dar el visto bueno yo sin necesidad a esperar que venga el_manco; no hay más posibilidades.

Pero en esto que dices


Citar
se refiere a ternas pitagóricas exclusivamente. Cualquier variación que hagas en cualquier terna pitagórica llegará  a

\( a^2+b^2<c^2 \)

ó

\( a^2+b^2>c^2 \)

siempre con \( c>b>a \)

es más engañoso de lo que parece; por ejemplo:

\( 3^{2}+4^{2}=(-5)^{2}
   \)

y entonces si b=4, a=3 y c=-5, ocurre que

\( b>a>c
   \)

Ya sé que es una “puñetería”, pero es que los matemáticos son muy puñeteros y hacen todas las precisiones habidas y por haber, y son a los que tienes que convencer; por mucho que yo te diga que algo está bien... independientemente de que haya acertado o no al corregir, ni pincho ni corto.


Tienes que precisar más:

Éstas dos son ternas pitagóricas (3,4,5) y (5,12,13) y puedo cambiar el “c” de una por el “a” de otra y entonces no es cierto lo que dices porque se quedan igual y sigue dándose la igualdad; y me había fijado en este ejemplo y no sabía qué contestarte, por miedo a meter la pata. Son detalles que parecen muy tontos y que se sobreentienden, pero puede haber otras cosas que a lo mejor no he visto, no puedo decirte que sí sin estar completamente seguro (o al menos sin creer estarlo) y no lo estaba. 


Llevas, como yo, mucho tiempo en el foro y seguramente has visto cómo alguna vez me han “regañado” (entre comillas) por contestar deprisa, alegremente y sin pensar las cosas lo necesario; así que no es por fastidiarte, es por prudencia.

En cualquier caso, seguro que el_manco pasa por aquí pronto y te dirá qué puedes considerar y qué no.

Saludos. 

02 Septiembre, 2016, 12:15 pm
Respuesta #30

minette

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Hola Feriva

Gracias por todo

Saludos.

02 Septiembre, 2016, 02:07 pm
Respuesta #31

feriva

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Hola Feriva

Gracias por todo

Saludos.

De nada, minette.

Para no quedarme con mal sabor de boca por mi respuesta poco comprometida, si puedo contestarte haciendo la suposición (que creo que es la que haces) de que los números sean positivos y distintos. En ese caso, evidentemente, si cambiamos uno o varios números, siempre de manera que la terna pitagórica no la transformemos en otra terna también pitagórica, las desigualdades que dices se cumplen; la una o la otra, pues no puede darse la igualdad porque entonces tendríamos otra terna pitagórica; condición que de antemano hemos vetado.

O sea, que lo que dices, con esas precisiones previas que lo dejan tan claro (y que es a lo que me refería al decirte que lo argumentaras más) lo puedes afirmar tranquilamente, nadie te lo va a negar.

Saludos.

 

09 Septiembre, 2016, 12:16 pm
Respuesta #32

Luis Fuentes

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Hola

Hola

Muchísimas gracias el_manco.

De tu respuesta 22 me quedo con: "Si trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces se cumple que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \), independientemente de que los números \( a<b<c \), sean o no enteros (bajo la única premisa de que sean positivos).

Trabajo ahora bajo la hipótesis \( a^2+b^2<c^2 \)

Está demostrado que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \) siendo \( c>b>a \).

Vamos a suponer que para otra clase de números cumpliendo \( a^2+b^2<c^2 \) y \( c>b>a \) se llega a \( a^n+b^n<c^n \) \( n\geq{3} \)

Pregunto este último hecho ¿influye o invalida la demostración inicial?

No entiendo la pregunta. ¿Por qué habría de invalidar demostración alguna, si esa otra "clase de números" sigue cumpliendo la misma propiedad que afirmabas al principio.

Sea como sea de nuevo la afirmación en rojo es trivialmente cierta para cualesquiera números positivos (enteros o no).

Saludos.

09 Septiembre, 2016, 06:28 pm
Respuesta #33

minette

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Hola el_manco

Gracias por tu respuesta 32.

Contesto a tu respuesta 18:

\( [c^nx_0(c^n-2a^n)+a^{n+1}] \) ? \( [c^ny_0(2b^n-c^n)+b^{n+1}] \)

\( a, b, c, x_0, y_0, n   \) son ENTEROS

El interrogante que separa estas dos expresiones sea \( =, > \)  o \( < \) no se altera en absoluto si cuando se traspone un término de la derecha a la izquierda o de la izquierda a la derecha se le cambia el signo\(  + \) por\(  - \), o bien \( - \) por \( + \) .

Dicho esto repaso mi respuesta 12 al final \( b^{n+1}(x_0-y_0)>a^{n+1} \)

falta multiplicar primer miembro por \( b^{n-1} \) y segundo miembro por \( a^{n-1} \) :

\( b^{2n}(x_0-y_0)>a^{2n} \)

Cabe añadir que siendo \( K_1>K_2 \), al ser ambos valores \( K_1 \) y \( K_2 \) negativos, entonces \( K_1<K_2 \)

Esto se comprueba perfectamente con ejemplos numéricos.

Saludos.


12 Septiembre, 2016, 01:32 pm
Respuesta #34

Luis Fuentes

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Hola

Contesto a tu respuesta 18:

\( [c^nx_0(c^n-2a^n)+a^{n+1}] \) ? \( [c^ny_0(2b^n-c^n)+b^{n+1}] \)

\( a, b, c, x_0, y_0, n   \) son ENTEROS

El interrogante que separa estas dos expresiones sea \( =, > \)  o \( < \) no se altera en absoluto si cuando se traspone un término de la derecha a la izquierda o de la izquierda a la derecha se le cambia el signo\(  + \) por\(  - \), o bien \( - \) por \( + \) .

Dicho esto repaso mi respuesta 12 al final \( b^{n+1}(x_0-y_0)>a^{n+1} \)

falta multiplicar primer miembro por \( b^{n-1} \) y segundo miembro por \( a^{n-1} \) :

\( b^{2n}(x_0-y_0)>a^{2n} \)

Sigues incidiendo en el mismo error aquí comentado; es cierto que el carácter =,>,< de la expresión azul no cambia si se transponen términos; pero es que tu no quieres sólo analizar esa expresión, sino una más compleja donde cada uno de los términos a izquierda y derecha aparecen multiplicados por \( a^{n-1} \) unos y por \( b^{n-1} \) los otros.

Si transpones términos y sigues multiplicando a izquierda y derecha por \( a^{n-1} \) y por \( b^{n-1} \), entonces dado que los factores han cambiado de lado ya no estás manejando la expresión que pretendías analizar porque al haber cambiado elementos de lado, términos que antes eran multiplicados por \( a^{n-1} \) ahora lo son por \( b^{n-1} \) y viceversa.

Saludos.

21 Septiembre, 2016, 04:33 pm
Respuesta #35

minette

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Hola

Si las fracciones\(  \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{-y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

también serán iguales \( \frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 

\( \frac{x_{0}^{2}c^{2n}-2x_{0}c^{n}a+a^{2}}{b^{2n-2}}=\frac{y_{0}^{2}c^{2n}+2y_{0}c^{n}b+b^{2}}{a^{2n-2}} \)
 

\( x_{0}^{2}c^{2n}a^{2n-2}-2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+a^{2n}=y_{0}^{2}c^{2n}b^{2n-2}+2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
 

\( x_{0}^{2}c^{2n}a^{2n-2}-y_{0}^{2}c^{2n}b^{2n-2}+a^{2n}=2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
 

\( c^{2n}(x_{0}a^{n-1}+y_{0}b^{n-1})+a^{2n}=2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
 

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}+c^{n}y_{0}b^{n-1}+\frac{a^{2n}}{c^{n}}=2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
 

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}+c^{n}y_{0}b^{n-1}-2x_{0}a^{2n-1}-2y_{0}b^{2n-1}=\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

dividido por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)
 

\( \frac{c^{n}x_{0}a^{n-1}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{c^{n}y_{0}b^{n-1}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}-\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}-\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}=\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n)}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( +\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}-\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}-\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}=\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( +\frac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}}?-\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}   \); \( (positivo)\frac{c^{n}}{2a^{n}}>1(negativo) \)
 

\( +\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}?-\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}  \) ; \( \frac{c^{n}}{2b^{n}}positivo<1(negativo) \)
 

\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   diferencia a favor \( positivo \)

\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \)  diferencia a favor \( negativo  \)

diferencia a favor \( positivo \) \( > \) diferencia a favor \(  negativo \)

\( \frac{b^{n}-a^{n}}{2a^{n}}-\frac{b^{n}-a^{n}}{2b^{n}}=\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

dividido por \( (b^{n}-a^{n}) \)
 

\( \frac{1}{2a^{n}}-\frac{1}{2b^{n}}=\frac{b^{n}+a^{n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( \frac{1}{a^{n}}-\frac{1}{b^{n}}=\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( \frac{b^{n}}{a^{n}b^{n}}-\frac{a^{n}}{a^{n}b^{n}}=\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( \frac{b^{n}-a^{n}}{a^{n}b^{n}}=\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( (b^{n}-a^{n})2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}=a^{n}b^{n} \)
 

\( (b^{n}-a^{n})2x_{0}a^{n-1}y_{0}b^{n-1}>1 \)
 

primer miembro >   segundo miembro

Saludos.

27 Septiembre, 2016, 11:05 am
Respuesta #36

Luis Fuentes

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Hola

\( \color{blue}+\dfrac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}+\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}-\dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}-\dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}=\dfrac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}\color{black} \)
 

\( +\dfrac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}}?-d\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}   \); \( (positivo)\dfrac{c^{n}}{2a^{n}}>1(negativo) \)
 

\( +\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}?-\dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}  \) ; \( \dfrac{c^{n}}{2b^{n}}positivo<1(negativo) \)
 

\( \dfrac{c^{n}}{2a^{n}}-\dfrac{2a^{n}}{2a^{n}}=\dfrac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   diferencia a favor \( positivo \)

\( \dfrac{2b^{n}}{2b^{n}}-\dfrac{c^{n}}{2b^{n}}=\dfrac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \)  diferencia a favor \( negativo  \)

diferencia a favor \( positivo \) \( > \) diferencia a favor \(  negativo \)

\( \color{red}\dfrac{b^{n}-a^{n}}{2a^{n}}-\dfrac{b^{n}-a^{n}}{2b^{n}}=\dfrac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}}\color{black} \)

En el paso de la igualdad que marco en azul, a la igualdad que marco en rojo, has omitido los factores \( x_0 \) e \( y_0 \) que aparecían en los denominadores del primer término.

Por tanto la igualdad en rojo está mal, no tiene nada que ver con la inicial.

Saludos.

03 Octubre, 2016, 11:57 am
Respuesta #37

minette

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Hola,

Parto de las fracciones

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \(  c^{n} \)  :

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Dividimos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)
 

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}=positivo \)
 

comparamos los términos positivos con los negativos:

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \);  \( \rightarrow1 (positivo)  <\frac{c^{n}}{2a^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}} \);  \( \rightarrow1 (positivo) >\frac{c^{n}}{2b^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   Diferencia a favor de \( Negativo  \)

\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \) Diferencia a favor de \( Positivo \)

Siendo los numeradores de las fracciones iguales, \( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} (Negativo)>\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} (Positivo) \)
 

Entonces los cuatro términos del primer miembro suman \( NEGATIVO\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)  \( POSITIVO \)   entero o decimal.
 


Saludos

03 Octubre, 2016, 12:14 pm
Respuesta #38

Luis Fuentes

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Hola

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \(  c^{n} \)  :

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Dividimos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)
 

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}=positivo \)
 

comparamos los términos positivos con los negativos:

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \);  \( \rightarrow1 (positivo)  <\frac{c^{n}}{2a^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}} \);  \( \rightarrow1 (positivo) >\frac{c^{n}}{2b^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   Diferencia a favor de \( Negativo  \)

\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \) Diferencia a favor de \( Positivo \)

Siendo los numeradores de las fracciones iguales, \( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} (Negativo)>\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} (Positivo) \)
 

Entonces los cuatro términos del primer miembro suman \( NEGATIVO\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)  \( POSITIVO \)   entero o decimal.

Esencialmente el mismo razonamiento que pretendías hacer antes (aunque trasponiendo términos) y por tanto exactamente el mismo error que te apunté: al final omites los factores \( x_0 \) e \( y_0 \) del denominador.

Es un poco desesperante este intercambio de mensajes porque no pareces asimilar nada de lo que indico; en ningún momento dejas claro si has comprendido mi crítica. No dices nada. Ni que estés de acuerdo ni que no.

Simplemente intentas rehacer sin más el argumento; pero el hecho de que repitas una y otra vez el error hacer evidente que no lo entiendes.

Saludos.

03 Octubre, 2016, 01:13 pm
Respuesta #39

minette

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Hola el_manco,

Perdóname por incomodarte tanto.

Creo que no me sé explicar.

Si yo comparo las fracciones

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

Creo que el ? (sea el que sea) continuará el mismo si multiplico ambos miembros (ambas fracciones) por

\( 2y_{0}b^{2n-1} \)  quedando:

\( \frac{1}{1}?\frac{c^{n}}{2a^{n}} \)
 

por ese hecho desaparece el factor \( y_{0} \)
 

Saludos