Autor Tema: Demostración para n=5 (u otros casos particulares del UTF).

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09 Diciembre, 2020, 10:03 am
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feriva

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Supongamos que existen \( x,y,z \) enteros todos distintos de cero y “a” algún número real tales que

\( (x+a)^{5}+(y+a)^{5}=(z+a)^{5}
  \)

WolframAlpha nos da las soluciones enteras posibles

\( {\color{blue}x=-a};\: z=y
  \)

\( {\color{blue}y=-a};\: z=x
  \)

\( y=-2a-x;\:{\color{blue}z=-a}
  \)

de ahí, entonces

\( x=-a\vee y=-a\vee z=-a
  \)

Al ser x,y,z números distintos de cero, la solución para “a” tampoco puede ser cero en ninguno de los tres casos, por lo que no puede existir

\( (x+0)^{5}+(y+0)^{5}=(z+0)^{5}=
  \)

\( (x)^{5}+(y)^{5}=(z)^{5}
  \)

No tiene mérito ninguno, pero esto demuestra el caso y de igual manera se puede hacer para “n=3” u otros casos. ¿Es correcta la deducción?

De cualquier modo, lo que más me interesa saber es qué tipo de cálculos usa la máquina para obtener las soluciones enteras de esa ecuación diofántica tan complicada.

Gracias.

09 Diciembre, 2020, 10:18 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Supongamos que existen \( x,y,z \) enteros todos distintos de cero y “a” algún número real tales que

\( (x+a)^{5}+(y+a)^{5}=(z+a)^{5}
  \)

WolframAlpha nos da las soluciones enteras posibles

\( {\color{blue}x=-a};\: z=y
  \)

\( {\color{blue}y=-a};\: z=x
  \)

\( y=-2a-x;\:{\color{blue}z=-a}
  \)

de ahí, entonces

\( x=-a\vee y=-a\vee z=-a
  \)

Al ser x,y,z números distintos de cero, la solución para “a” tampoco puede ser cero en ninguno de los tres casos, por lo que no puede existir

\( (x+0)^{5}+(y+0)^{5}=(z+0)^{5}=
  \)

\( (x)^{5}+(y)^{5}=(z)^{5}
  \)

No tiene mérito ninguno, pero esto demuestra el caso y de igual manera se puede hacer para “n=3” u otros casos. ¿Es correcta la deducción?

De cualquier modo, lo que más me interesa saber es qué tipo de cálculos usa la máquina para obtener las soluciones enteras de esa ecuación diofántica tan complicada.

No acabo de entender lo que quieres decir con todo esto.

Tampoco sé exactamente qué le has metido al Wolfram Alpha.

Pero por ejemplo la ecuación:

\( (2+a)^5+(3+a)^5=(5+a)^5 \)

tiene solución real \( x=14.0803\ldots  \).

Es más... fijados \( x,y,z \) distintos, la ecuación:

\( (x+a)^5+(y+a)^5=(z+a)^5 \)

es una ecuación polinómica en \( a \) de grado \( 5 \), y SIEMPRE tiene al menos una solución real.

Saludos.

09 Diciembre, 2020, 10:31 am
Respuesta #2

feriva

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Es más... fijados \( x,y,z \) distintos, la ecuación:

\( (x+a)^5+(y+a)^5=(z+a)^5 \)

es una ecuación polinómica en \( a \) de grado \( 5 \), y SIEMPRE tiene al menos una solución real.

Saludos.

Hola, Luis.

Sí. Lo que digo es que, aparte de las reales, el Wolfram me da al final de la página las integer solutions (que no sé si habré interpretado bien). Te paso lo que le he metido:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2Ba%29%5E5%2B%28y%2Ba%29%5E5%3D%28z%2Ba%29%5E5

Gracias.

Saludos.

09 Diciembre, 2020, 10:39 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Sí. Lo que digo es que, aparte de las reales, el Wolfram me da al final de la página las integer solutions (que no sé si habré interpretado bien). Te paso lo que le he metido:

Yo pensé que analizabas el caso \( x,y,z \) enteros, pero \( a \) real.

Si lo que analizas es TODAS enteras (inlcuída \( a \)). ¡Claro es el Teorema de Fermat básicamente, porque las sumas \( x+a,y+a,z+a \) son tres números enteros y no existen soluciones enteras no triviales!.

Pero no sé que interés tiene eso. ¿Para qué metes la variable \( a \)?. No tiene sentido ninguno; no aporta nada.

¿Cómo sabe Wolfram que la ecuación de Fermat sólo tiene soluciones enteras? Sin duda porque en la base de datos de Wolfram de ecuaciones diofánticas conocidas.. ¡está el Teorema de Fermat!.

Saludos.

09 Diciembre, 2020, 10:44 am
Respuesta #4

feriva

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Sí. Lo que digo es que, aparte de las reales, el Wolfram me da al final de la página las integer solutions (que no sé si habré interpretado bien). Te paso lo que le he metido:

Yo pensé que analizabas el caso \( x,y,z \) enteros, pero \( a \) real.

Si lo que analizas es TODAS enteras (inlcuída \( a \)). ¡Claro es el Teorema de Fermat básicamente, porque las sumas \( x+a,y+a,z+a \) son tres números enteros y no existen soluciones enteras no triviales!.

Pero no sé que interés tiene eso. ¿Para qué metes la variable \( a \)?. No tiene sentido ninguno; no aporta nada.

¿Cómo sabe Wolfram que la ecuación de Fermat sólo tiene soluciones enteras? Sin duda porque en la base de datos de Wolfram de ecuaciones diofánticas conocidas.. ¡está el Teorema de Fermat!.

Saludos.

Me lo imaginaba si te digo la verdad, ya me parecía difícil que lo resolviera así sin más.

Muchas gracias.

09 Diciembre, 2020, 02:33 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Dices (viene del hilo "¿Qué es lo correcto?").

 

*Off topic
Mira, minette, creí que había demostrado varios casos del teorema; pero me dice Luis que no, que el Wolfram cuenta de antemano con que ya está demostrado (sin hacer el cuentas).


 ¿Pero qué se supone que creías que habías demostrado?.

 ¿Te ha quedado claro que ese a que has añadido no aporta NADA?. Igualmente podrías haber metido directamente x^5+y^5=z^5 y Wolfram te diría que las únicas soluciones triviales son las enteras. ¿Sospecharías que eso es una demostración del Teorema de Fermat?. Es que mi sigue pareciendo que piensas que ese \( a \) que sumas mete algún matiz relevante.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115246.msg457830;topicseen#msg457830

Citar
Lo curioso de esto es que, si hubiera sido lo mismo pero con algo no demostrado todavía (la conjetura fuerte de Goldbach, por ejemplo) la demostración sería válida (en este caso es que cuenta con la demostración preexistente, no es que no sea válida ni no válida).

 ¿Qué se supone que quieres decir con eso? Para que una demostración que se apoya en un ordenador sea válida hay que tener muy claro como está programado el ordenador y lo que hay detrás. Básicamente el ordenador sirve para hacer cuentas más rápido que uno mismo y punto. Cierto que a veces radicalmente más rápido (unos minutos frente a una vida).

 Para mi no tiene ningún sentido que digas que si no se hubiese demostrado si que sería válida la demostración.

Saludos.

09 Diciembre, 2020, 03:43 pm
Respuesta #6

feriva

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Hola

 Dices (viene del hilo "¿Qué es lo correcto?").

 

*Off topic
Mira, minette, creí que había demostrado varios casos del teorema; pero me dice Luis que no, que el Wolfram cuenta de antemano con que ya está demostrado (sin hacer el cuentas).

 ¿Pero qué se supone que creías que habías demostrado?.

 ¿Te ha quedado claro que ese a que has añadido no aporta NADA?.

Sí, sí, me queda claro, Luis.

Lo que decía era un supuesto que no se va a producir; porque se hubiera producido ya. Es decir, aquí la base de datos usa un resultado, un teorema conocido como podría ser otro; eso queda claro. Pero si no existiera un teorema previo y a partir de una ecuación resuelta por un ordenador se pudiera deducir la verdad de algo (un teorema nuevo) pues supondría una demostración (que ya sé que eso no va a pasar, porque hubiera pasado hace mucho). Y es verdad también que en este caso la “a” no es más que un pegote, estoy de acuerdo (al menos a primera vista a mí también me lo parece); si se considerara un número que tiende a cero en vez del entero cero... pues ni idea de para qué podría servir con el poco análisis que sé.

Pero el Wolfram parecía haberlo resulto para enteros y yo, con mis pocos conocimientos, no estaba seguro del todo de qué había hecho la máquina para resolver eso; y pregunté a ver..

Saludos.