Autor Tema: Bisectriz interior

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23 Julio, 2016, 05:55 pm
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Michel

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Demostrar que la bisectriz interior del ángulo C de un triángulo ABC es bisectriz del ángulo formado por el diámetro que pasa por C y la altura CH.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

23 Julio, 2016, 08:21 pm
Respuesta #1

EnRlquE

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Hola.

 Ahí voy otra vez.

No desplegar antes de haber intentado mucho el problema o saber su solución
Nuevamente escribo solo un esbozo de la prueba.

Imagino que se hace referencia a la circunferencia circunscrita al triángulo \( ABC \). Llamaremos \( {\cal C} \)  esta circunferencia. Supongamos que \( D\in{\cal C} \) sea tal que \( \overline{CD} \) es diámetro. Entonces todo se reduce a probar que \( m\angle BCH=m\angle DCA \). Además notemos que el triángulo \( CAD \) es un triángulo rectángulo, recto en \( A \), ya que \( \overline{CD} \) es diámetro. Entonces como el triángulo \( BCH \) es recto en \( H \), podemos reducir el problema a mostrar que \( m\angle CBA=m\angle CDA \). Finalmente podemos concluir gracias a que estos dos últimos ángulos están inscritos en \( {\cal C} \) y comparten el mismo arco de circunferencia, el arco \( AC \).
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Saludos,

Enrique.

29 Julio, 2016, 05:01 pm
Respuesta #2

Michel

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Hola Enrique.

Efectivamente se trata de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

Se adjunta la figura.

"Remato " el problema:

Los triángulos sombreados son rectángulos en A y en H, tienen iguales los ángulos en D y en B por ser inscritos y abarcar el mismo arco A, luego los terceros ángulos serán iguales (ángulos 1).

áng ACE=áng BCE por ser CE bisectriz de C

Si de estos ángulos restamos el ángulo 1, resultan los ángulos 2, que serán iguales.



Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker