Hola.
A ver,¿ no será:
\( Ax_c=\displaystyle\int dAx \)
\( Ay_c=\displaystyle\int dAy \) ?
A es el área de la figura, y \( (x_c,y_c) \) coordenadas del centro.
En la figura está sombreada el área delimitada.
\( x_cA=\displaystyle\int \int xdxdy \)
Hay que hallar los límites de integración, de modo de recorrer toda el área A.
El orden de integración es respecto a "y" primero, y luego respecto a "x".
Por lo tanto, fijamos la variable x. Y vemos cómo varia la coordenada "y" para recorrer el área.
Si te fijas, al fijar un x, comenzas en la recta, y llegas hasta la parábola.
Cuánto vale "y" en la recta, en función de x, y=3-x.
Y en la parábola \( y=-x^2-3x+6 \)
Ya tenémos para cada x, como recorrer la coordenada y, ahora falta recorrer toda el área en la coordenada x.
Si te fijas los puntos donde se cortan la parábola, estos son x=1,x=-3. Por lo tanto x recorre el intervalo [-3,1]
Finalmente la integral a resolver es:
\( \displaystyle\int_{-3}^{1}dx\displaystyle\int_{3-x}^{-x^2-3x+6}xdy \)
El área de la figura podes hallaro simplemente con los mismos límites anteriores, es decir:\( \displaystyle\int_{-3}^{1}\displaystyle\int_{3-x}^{-x^2-3x+6}dxdy \)
Para la parte del volumen:
si estás viendo centros geométricos probablemente te dijeron que para hallar el volumen de revolución de una superficie que gira respecto a una recta lo que debes encontrar es cuanto recorre el centro geométrico en el giro y multiplicarlo por el área.
Lo que recorre el centro geométrico en el giro es una circunferencia, y su radio es la distancia a la recta sobre la cual gira.
Entonces, busca la distancia d del centro a la recta L, y luego \( V=A2\pi d \)
Saludos.
