Autor Tema: Suma de medianas

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01 Julio, 2016, 08:29 am
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Michel

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Demostrar que la suma de las medianas de un triángulo es mayor que 3/4 del perímetro.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

08 Julio, 2016, 09:24 am
Respuesta #1

Michel

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Sean AA'=m, BB'=m', CC'=m'' las medianas del triángulo ABC y G el baricentro.

En los triángulos GBC, GCA y AGB, por la desigualdad triangular:

BG+GC>BC,   CG+AG>AC,    AG+BG>AB

Teniendo en cuenta las propiedades del baricentro. resulta:

2m'/3+2m''/3>AB,   2m''/3+2m/3>AC,    2m/3+2m'/3>AB

Sumando:

4m/3+4m'/3+4m''/3>AB+BC+AC

De donde: m+m'+m''>3(AB+BC+AC)/4
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker