Hola,
Estoy estudiando un poquillo de teoría de juegos y en un libro he encontrado el siguiente problema:
Un individuo ha pensado realizar una inversión en un activo financiero de gran volatilidad, que proporciona una ganancia bruta de 0 u.m. (es decir, pérdida de la cantidad invertida) con probabilidad 3/4 y de 6 u.m. con probabilidad 1/4 por cada u.m. invertida (1 u.m. de recuperación de la inversión + 5 u.m. de rendimiento neto). Sabiendo que sus preferencias representables mediante la función de utilidad \( u(w)=ln ( w +9 ) \) y su riqueza actual es \( w_0>1 \) , ¿cuánto decidirá invertir?
Si juega 1 u.m., la lotería L consiste en \( L=\left ( \displaystyle\frac{3}{4}, \displaystyle\frac{1}{4}\right ) \) para \( x_1=0 \) y \( x_2=6 \)
El valor esperado de esta lotería es \( x_0 = \displaystyle\frac{3}{2} \)
Si se invierten w u.m., el valor esperado de la lotería es \( x_0=\displaystyle\frac{3w}{2} \)
La utilidad esperada (de Von Neumann-Morgensten) de la lotería es \( U(L)=\displaystyle\frac{3}{4}u(0)+\displaystyle\frac{1}{4}u(6)=\displaystyle\frac{3}{4} ln (9)+\displaystyle\frac{1}{4} ln (15) \)
Si \( z_0 \) es el equivalente cierto de la lotería, tenemos \( u(z_0)=U(L) \)
Calculando, sale \( z_0\approx 1,226 \).
El agente es averso al riesgo pues la función de utilidad \( u(w) \) es cóncava, con segunda derivada negativa. La prima de riesgo es \( \rho = x_0 - z_0 \). Igualando a cero ésta, tenemos
\( \displaystyle\frac{3w}{2}-z_0=0\Rightarrow{}w=\displaystyle\frac{2 z_0}{3} \approx{0.8173} \)
Creo que he hecho algo mal y no consigo interpretar bien los cálculos hechos. Sigo sin responder a la cuestión, ¿cuánto debe invertir el agente?, ¿qué significa cada cosa en este contexto? (el equivalente cierto y la prima de riesgo)
Muchas gracias,
