Hola
Detallo los pasos para obtener la solución de Gaussito que es correcta.
Varias cosas a tener en cuenta.
1- El mayor resto al dividir por \( d \) es \( d-1 \).
2- La mayor suma de cifras de un número menor que \( 1000 \) es la de \( 999 \), \( 9+9+9=27 \).
3- Se tiene que si un número es \( \overline{abc}=100a+10b+c \) entonces:
\( \dfrac{100a+10b+c}{a+b+c}=1+\dfrac{9(11a+b)}{a+b+c} \) (*)
Eso quiere decir que si \( a+b+c \) es múltiplo de \( 3 \) entonces el resto a lo sumo puede ser \( (a+b+c)/3-1 \) y si es múltiplo de 9 el resto a lo sumo puede ser \( (a+b+c)/9-1 \). Esto descarta el \( 999 \), en principio, que a lo sumo nos daría un resto de \( 27/9-1=2 \).
4- Además si \( a \) y \( b \) tienen la misma paridad y \( c \) es par. Entonces por (*) el resto a lo sumo sería \( (a+b+c)/2-1 \).
5- A partir de aquí uno puede empezar un tanteo. Si la suma de cifras es \( 26 \) el máximo resto al que podemos aspirar es \( 25 \). Los números candidatos son \( 998 \) (este lo descarta 4) y \( 989,899 \) que dan restos \( 1 \) y \( 15. \)
6- Después si la suma de cifras es \( 25 \) el máximo resto al que podemos aspirar es \( 24 \). Las opciones son \( 988,898,889,997,979,799 \) que dan respectivamente restos \( 13,23,14,22,4,24 \).
Y tenemos el mayor resto \( 24 \) para \( 799 \).
Nótese que los pasos 3 y 4 están pensados para aligerar el tanteo, aunque en este caso apenas descartan cálculos. En este tipo de problemas es usual tener que combinar esos dos tipos de razonamientos: argumentos generales para reducir la causística y luego cálculos para casos particulares.
Saludos.
