[Carlos Ivorra]

Piénsalo Carlos.  \( \pi \)  no es factor ni de  \( \xi \)  ni de  \( \nu \) ,  solamente divide a su suma

Si divides \( \xi+\omega^i\upsilon \) entre \( \mathfrak m \) el cociente ya no tiene por qué ser de la forma \( \xi+\omega^i\upsilon \), así que no veo que puedas eliminarlo.

[Proyecto_dos]

Hola,

Si divides \( \xi+\omega^i\upsilon \) entre \( \mathfrak m \) el cociente ya no tiene por qué ser de la forma \( \xi+\omega^i\upsilon \), así que no veo que puedas eliminarlo.

No lo veo:  \( (\displaystyle\frac{\xi}{m})+\omega^i(\displaystyle\frac{\upsilon}{m}) \) ,  para:  \( \xi'=\displaystyle\frac{\xi}{m}\,\,\wedge\,\,\upsilon'=\displaystyle\frac{\upsilon}{m} \)

De todas formas tampoco le veo demasiada importancia. Si quieres continuo analizando la demostración por donde la dejé.


Un saludo,

[Carlos Ivorra]

No lo veo:  \( (\displaystyle\frac{\xi}{m})+\omega^i(\displaystyle\frac{\upsilon}{m}) \) ,  para:  \( \xi'=\displaystyle\frac{\xi}{m}\,\,\wedge\,\,\upsilon'=\displaystyle\frac{\upsilon}{m} \)

Perdona, tienes razón. Estaba todo el rato pensando que \( \mathfrak m \) era otra cosa. En efecto, creo que es correcto, no perdemos generalidad si tomamos \( \mathfrak m =1 \).

[Proyecto_dos]

Ok, mañana continúo con la demostración. Este pequeño parón de 1 día me ha venido bien para repasar. Un sdo

[Proyecto_dos]

Hola,


Me paro ahora -y ya es lo último- en el último Spoiler del texto de la demostración; que es por lo que se pasa de  \( \eta \)  a  \( \eta'^{\,p} \)

(No me ha sido posible copiar el texto aquí). Yo tengo:  \( \xi'^{\,p}+\eta\,\alpha_2^{p}\equiv{0}\,(mód\,p) \) .  Y ahora utilizo que toda potencia p-ésima de un entero ciclotómico es congruente con un entero módulo p. Luego:  \( \xi'^{\,p}\equiv{u}\,(mód\,p)\,\,\wedge\,\,\eta\,\alpha_2^{p}\equiv{\eta\,v}\,(mód\,p)\,\,\wedge\,\,u+\eta\,v\equiv{0}\,(mód\,p) \) , para  \( u,v \)  enteros.  Tendría entonces que:  \( \eta\equiv{-u\,v^{-1}}\,(mód\,p) \) ;  pero como  \( v^{-1} \)  no es entero; entonces se introduce por el pequeño Teorema de Fermat que:  \( v^{p-1}\equiv{1}\,(mód\,p) \) ,  para llegar a que:  \( \eta\equiv{-u\,v^{p-2}}\,(mód\,p) \)  y de ahí sacar la conclusión que al ser la unidad ciclotómica  \( \eta \)  congruente con un entero módulo p; por el segundo lema de Kummer, entonces debe ser una potencia p-ésima. Este último paso es el que más me ha costado entender. Supongo que traspones  \( v^{p-1} \)  -por la congruencia con p- en el posible (1) de:  \( \eta\equiv{(1)\,-u\,v^{-1}}\,(mód\,p) \) ; ¿no?


Un saludo,


PD. Para entender la demostración al nivel que yo busco he de volver a ella muchas más veces. No obstante puedo decir que he alcanzado una cierta idea; que es mucho más que nada

[Cristian C]

Errata: Respuesta 3 del 11/6:

Donde muestras cuándo un número ciclotómico es un real. Donde dice:

Pero esta última ecuación implica \( r=0 \), luego \( \alpha \) es real si y sólo si \( \alpha_4=\alpha_1 \) y \( \alpha_2=\alpha_3 \)

debe decir:

"Pero esta última ecuación implica \( r=0 \), luego \( \alpha \) es real si y sólo si \( a_4=a_1 \) y \( a_2=a_3 \)"

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Yo tengo:  \( \xi'^{\,p}+\eta\,\alpha_2^{p}\equiv{0}\,(mód\,p) \) .  Y ahora utilizo que toda potencia p-ésima de un entero ciclotómico es congruente con un entero módulo p. Luego:  \( \xi'^{\,p}\equiv{u}\,(mód\,p)\,\,\wedge\,\,\eta\,\alpha_2^{p}\equiv{\eta\,v}\,(mód\,p)\,\,\wedge\,\,u+\eta\,v\equiv{0}\,(mód\,p) \) , para  \( u,v \)  enteros.  Tendría entonces que:  \( \eta\equiv{-u\,v^{-1}}\,(mód\,p) \) ; 

Tenemos que \( v\eta\equiv -u(\mbox{mód}\,p) \), y ahora se trata de despejar \( \eta \), cosa que no se puede hacer dividiendo entre \( v \) sin más, porque no es una unidad ciclotómica. Lo que sucede es que, \( p\nmid v \) implica que \( v \) tiene inverso módulo \( p \). Eso es lo que probé aquí, existe un \( w \) tal que \( uw\equiv 1(\mbox{mód}\,p) \) (usando el pequeño teorema de Fermat, ese \( w \) es \( w= v^{p-2} \)), y basta multiplicar por \( w \) en ambos miembros para despejar \( \eta\equiv -uw(\mbox{mód}\,p) \), y así vemos que \( \eta \) es congruente con un entero módulo p.

pero como  \( v^{-1} \)  no es entero; entonces se introduce por el pequeño Teorema de Fermat que:  \( v^{p-1}\equiv{1}\,(mód\,p) \) ,  para llegar a que:  \( \eta\equiv{-u\,v^{p-2}}\,(mód\,p) \)  y de ahí sacar la conclusión que al ser la unidad ciclotómica  \( \eta \)  congruente con un entero módulo p; por el segundo lema de Kummer, entonces debe ser una potencia p-ésima.

Correcto.

Este último paso es el que más me ha costado entender. Supongo que traspones  \( v^{p-1} \)  -por la congruencia con p- en el posible (1) de:  \( \eta\equiv{(1)\,-u\,v^{-1}}\,(mód\,p) \) ; ¿no?

No entiendo. Tienes \( v\eta\equiv -u(\mbox{mód}\,p) \), luego \( v^{p-2}v\eta\equiv -uv^{p-2}(\mbox{mód}\,p) \), luego  \( v^{p-1}\eta\equiv -uv^{p-2}(\mbox{mód}\,p) \), luego \( \eta\equiv -uv^{p-2}(\mbox{mód}\,p) \), porque \( v^{p-1}\equiv 1(\mbox{mód}\,p) \).

PD. Para entender la demostración al nivel que yo busco he de volver a ella muchas más veces. No obstante puedo decir que he alcanzado una cierta idea; que es mucho más que nada

No entiendo por qué dices esto. Obviamente, hay dos niveles: una cosa es entender "los árboles" (cada paso en concreto) y otra entender "el bosque" (hacerse una idea global de la demostración). Una lectura superficial te puede dar una idea del "bosque", luego hay que entender cada paso y luego puedes llegar a una visión de conjunto más profunda. En el paso intermedio, lo que tienes que hacer es preguntar cualquier paso que no veas claramente justificado. Si haces eso no podrás decir que has alcanzado meramente "cierta idea" mejor que "nada".

Mi opinión es que la parte más "dura" de la prueba es la que va desde el penúltimo spoiler hasta la afirmación marcada con un *. Lo que viene luego es pura aritmética, y lo que estás preguntando en el último mensaje son en realidad dudas sobre congruencias de enteros ordinarias, que me temo que he pasado demasiado a la ligera creyendo sin motivo aparente que estarías más familiarizado con ellas.

[Carlos Ivorra]

Errata: Respuesta 3 del 11/6:

Donde muestras cuándo un número ciclotómico es un real. Donde dice:

Pero esta última ecuación implica \( r=0 \), luego \( \alpha \) es real si y sólo si \( \alpha_4=\alpha_1 \) y \( \alpha_2=\alpha_3 \)

debe decir:

"Pero esta última ecuación implica \( r=0 \), luego \( \alpha \) es real si y sólo si \( a_4=a_1 \) y \( a_2=a_3 \)"

Corregido, gracias por señalarlo.

[Proyecto_dos]

Hola,

Este último paso es el que más me ha costado entender. Supongo que traspones  \( v^{p-1} \)  -por la congruencia con p- en el posible (1) de:  \( \eta\equiv{(1)\,-u\,v^{-1}}\,(mód\,p) \) ; ¿no?

No entiendo. Tienes \( v\eta\equiv -u(\mbox{mód}\,p) \), luego \( v^{p-2}v\eta\equiv -uv^{p-2}(\mbox{mód}\,p) \), luego  \( v^{p-1}\eta\equiv -uv^{p-2}(\mbox{mód}\,p) \), luego \( \eta\equiv -uv^{p-2}(\mbox{mód}\,p) \), porque \( v^{p-1}\equiv 1(\mbox{mód}\,p) \).

En este último paso tuyo (\( v^{p-1}\eta\equiv -uv^{p-2}(\mbox{mód}\,p) \))  lo que haces es sustituir " \( v^{p-1} \) " por "1"; que es lo que yo hacía en una instancia anterior pero al revés: sustituir un siempre factor " \( (1) \) " por  " \( v^{p-1} \) ". En definitiva, me has respondido, era un paso "legal". Es cierto lo que dices más adelante, me falta cierta base en congruencias y se hace un uso fuerte de ellas en esta demostración.

No entiendo por qué dices esto. Obviamente, hay dos niveles: una cosa es entender "los árboles" (cada paso en concreto) y otra entender "el bosque" (hacerse una idea global de la demostración). Una lectura superficial te puede dar una idea del "bosque", luego hay que entender cada paso y luego puedes llegar a una visión de conjunto más profunda. En el paso intermedio, lo que tienes que hacer es preguntar cualquier paso que no veas claramente justificado. Si haces eso no podrás decir que has alcanzado meramente "cierta idea" mejor que "nada".

No me he explicado bien y no me has entendido. No lo he dicho en plan de queja. Tener una cierta idea es ya un logro muy grande, supone haber alcanzado la pieza: Ya sé dónde está -gracias a ti-. Ahora ya puedo volver a ella siempre que quiera. Yo no soy matemático, estudié filosofía y no me puedo desprender de cierta perspectiva meta-lógica. Ahora estoy en contar y ver los árboles. Pero entender para mí el bosque en una segunda instancia no es solamente poderlo volver a plantar; quiero llegar a un porqué. A uno muy básico aunque sea, acorde con mis limitaciones intelectuales. Yo quiero saber por qué no tiene soluciones enteras  \( x^p+y^p=z^p \) . Alguno pensará que estoy loco, pero yo no lo creo. Efectivamente, lo más seguro es que llegue mi último día sin haber llegado cabalmente a esta respuesta. ¿Y qué? Eso es la vida; el transcurso. Aunque eso no quita que aquí y ahora, en este hilo, me adapte completamente a lo que se pueda esperar de mí matemáticamente. Cosa que hago con honestidad; como es de recibo por el trato, honesto también, que recibo.

Mi opinión es que la parte más "dura" de la prueba es la que va desde el penúltimo spoiler hasta la afirmación marcada con un *.

Muchas veces me pueden las prisas, cosa que atribuyo más a la ansiedad que a otra cosa. Lo digo por lo siguiente. ¿Por qué terminar ya la demostración? Efectivamente, he pasado por esa parte de la demostración que indicas por encima. Todavía dispongo de tiempo. Así que voy a dedicarme a ella también paso por paso; en las siguientes respuestas


Un saludo,

[Carlos Ivorra]

Este último paso es el que más me ha costado entender. Supongo que traspones  \( v^{p-1} \)  -por la congruencia con p- en el posible (1) de:  \( \eta\equiv{(1)\,-u\,v^{-1}}\,(mód\,p) \) ; ¿no?

No entiendo. Tienes \( v\eta\equiv -u(\mbox{mód}\,p) \), luego \( v^{p-2}v\eta\equiv -uv^{p-2}(\mbox{mód}\,p) \), luego  \( v^{p-1}\eta\equiv -uv^{p-2}(\mbox{mód}\,p) \), luego \( \eta\equiv -uv^{p-2}(\mbox{mód}\,p) \), porque \( v^{p-1}\equiv 1(\mbox{mód}\,p) \).

En este último paso tuyo (\( v^{p-1}\eta\equiv -uv^{p-2}(\mbox{mód}\,p) \))  lo que haces es sustituir " \( v^{p-1} \) " por "1"; que es lo que yo hacía en una instancia anterior pero al revés: sustituir un siempre factor " \( (1) \) " por  " \( v^{p-1} \) ". En definitiva, me has respondido, era un paso "legal".

Si te refieres a esto: \( \eta\equiv{(1)\,-u\,v^{-1}}\,(mód\,p) \), lo que no es legal es escribir \( v^{-1} \) en una congruencia, por lo menos si por  \( v^{-1} \) te refieres al número racional \( 1/v \). Por otra parte, entiendo ahora que estás pensando en \( \eta\equiv{(1)\,(-u\,v^{-1})}\,(mód\,p) \), con un paréntesis adicional necesario para que no parezca una resta lo que pretendes que sea un producto.

No me he explicado bien y no me has entendido. No lo he dicho en plan de queja. Tener una cierta idea es ya un logro muy grande, supone haber alcanzado la pieza: Ya sé dónde está -gracias a ti-. Ahora ya puedo volver a ella siempre que quiera.

No lo había entendido como una queja, sino más bien como una infravaloración de lo que has conseguido.

Yo quiero saber por qué no tiene soluciones enteras  \( x^p+y^p=z^p \).

No estoy seguro de que esa pregunta tenga una respuesta más allá del hecho de porque existe una demostración de que así es.

Mi opinión es que la parte más "dura" de la prueba es la que va desde el penúltimo spoiler hasta la afirmación marcada con un *.

Muchas veces me pueden las prisas, cosa que atribuyo más a la ansiedad que a otra cosa. Lo digo por lo siguiente. ¿Por qué terminar ya la demostración? Efectivamente, he pasado por esa parte de la demostración que indicas por encima. Todavía dispongo de tiempo. Así que voy a dedicarme a ella también paso por paso; en las siguientes respuestas

Nadie afirma que empezar por el principio y terminar por el final sea el orden más adecuado para asimilar una demostración. No es raro que en muchos libros se pospongan las demostraciones de los pasos más técnicos para facilitar la comprensión, por ejemplo.