Probar que una unidad ciclotómica de orden 7 es una potencia séptima si y sólo si es congruente con un entero módulo 7.
a)
Toda potencia séptima de un entero ciclotómico de orden 7 es congruente con un entero módulo 7:
Sean \( \alpha\,\,\wedge\,\,\beta \) dos enteros ciclotómicos de orden \( p \) tales que:
\( (\alpha+\beta)^7=\displaystyle\binom{7}{0}\,\alpha^7+\displaystyle\binom{7}{1}\,\alpha^6\,\beta+\,.\,.\,.\,+\displaystyle\binom{7}{6}\,\alpha\,\beta^6+\displaystyle\binom{7}{7}\,\beta^7 \)
Como: \( 7\mid\displaystyle\binom{7}{1}\,,\,\displaystyle\binom{7}{2}\,,\,.\,.\,,\,\displaystyle\binom{7}{6} \) (salvo: \( \displaystyle\binom{7}{0}\,,\,\displaystyle\binom{7}{7} \) )
Entonces: \( (\alpha+\beta)^7\equiv{\alpha^7+\beta^7}\,(mód\,7) \)
Y si tenemos por ejemplo que: \( \gamma \) \( \wedge \) \( (\alpha+\beta+\gamma)^7 \) ; entonces:
\( ((\alpha+\beta)+\gamma)^7\equiv{(\alpha+\beta)^7+\gamma^7}\equiv{\alpha^7+\beta^7+\gamma^7}\,(mód\,7) \)
De esta manera, sea \( \delta \) un entero ciclotómico de orden 7 en forma reducida: \( \delta=a_5\omega^5+a_4\omega^4+a_3\omega^3+a_2\omega^2+a_1\omega+a_0 \)
Entonces:
\( \delta^7\equiv{a_5^7\omega^{35}+a_4^7\omega^{28}+a_3^7\omega^{21}+a_2^7\omega^{14}+a_1^7\omega^{7}+a_0^7}\,(mód\,7) \)
Como: \( \omega^{35}=\omega^{28}=\omega^{21}=\omega^{14}=\omega^{7}=1 \)
\( \Rightarrow{} \) \( \delta^7\equiv{a_5^7+a_4^7+a_3^7+a_2^7+a_1^7+a_0^7}\,(mód\,7) \)
Y ya hemos probado que toda potencia séptima de un entero ciclotómico \( (\delta) \) es congruente con un entero \( (K=a_5^7+\,.\,.\,+a_0^7) \) , módulo 7.
b)
Toda unidad ciclotómica de orden 7 congruente con un entero módulo 7 es una potencia séptima:
Sea \( \alpha \) una unidad ciclotómica de orden 7.
Sabemos que se expresará de forma única como: \( \alpha=\pm{\omega^m\,\epsilon_1^a\,\epsilon_2^b} \) , para
\( a,b,m \) enteros; \( \epsilon_1=\omega+\omega^6 \) \( \wedge \) \( \epsilon_2=\omega^3+\omega^4 \) . Además, sin pérdida de generalidad, podemos considerar el signo de \( \omega^{\,m} \) como positivo; pues también: \( -\omega^{\,m}\,\epsilon_1^a\,\epsilon_2^b\equiv{-k}\,(mód\,7) \) y si \( \alpha \) es una potencia séptima, mantendrá el signo negativo; luego da igual utilizar uno que otro.
Sea \( a=7c_1+r_1\,\,\,\wedge\,\,\,b=7c_2+r_2 \) con \( 0\leq{r_1,r_2}<7 \) .
Entonces: \( \alpha=\omega^{\,m}\,(\epsilon_1^{c_1})^7\,(\epsilon_2^{c_2})^7\,\epsilon_1^{r_1}\,\epsilon_2^{r_2} \) y bastaría probar que \( \omega^m\,\epsilon_1^{r_1}\,\epsilon_2^{r_2} \) es una potencia séptima.
Como \( (\epsilon_1^{c_1})^7\,\,\wedge\,\,(\epsilon_2^{c_2})^7 \) son potencias séptimas, sabemos por el punto a) que existirán unos enteros \( k'\,\,\wedge\,\,k'' \) , tales que:
\( (\epsilon_1^{c_1})^7\equiv{k'}\,(mód\,7)\,\,\,\wedge\,\,\,(\epsilon_2^{c_2})^7\equiv{k''}\,(mód\,7) \) .
Partimos que: \( \alpha\equiv{k}\,(mód\,7) \)
Luego si: \( k'^{\,5}\cdot{k''^{\,5}}\cdot{\,k} \) ; entonces:
\( k'^{\,5}\,k''^{\,5}\,k\equiv{k'^{\,5}\,k''^{\,5}\,\alpha=k'^{\,5}\,k''^{\,5}\,\omega^{\,m}\,(\epsilon_1^{c_1})^7\,(\epsilon_2^{c_2})^7\,\epsilon_1^{r_1}\,\epsilon_2^{r_2}}\,(mód\,7) \)
Como hemos quedado que: \( (\epsilon_1^{c_1})^7\equiv{k'}\,(mód\,7)\,\,\wedge\,\,(\epsilon_2^{c_2})^7\equiv{k''}\,(mód\,7) \)
Entonces:
\( k'^{\,5}\,k''^{\,5}\,k\equiv{k'^{\,6}\,k''^{\,6}\,\omega^{\,m}\,\epsilon_1^{r_1}\,\epsilon_2^{r_2}}\,(mód\,7) \)
Y como por el
Pequeño Teorema de Fermat sabemos que: \( k'^{\,6}\equiv{1}\,(mód\,7)\,\,\wedge\,\,k''^{\,6}\equiv{1}\,(mód\,7) \)
Entonces: \( k'^{\,5}\,k''^{\,5}\,k\equiv{\omega^{\,m}\,\epsilon_1^{r_1}\,\epsilon_2^{r_2}}\,(mód\,7) \)
Ahora lo que nos tenemos que preguntar es: ¿Para qué potencias \( m,r_1,r_2 \) será \( \omega^{\,m}\,\epsilon_1^{r_1}\,\epsilon_2^{r_2} \) congruente con un entero \( (K=k'^{\,5}\cdot{k''^{\,5}}\cdot{k}) \) , módulo 7?
Sabemos que el producto de \( \omega^{\,m} \) lo único que hace es cambiar los coeficientes de potencia de \( \omega \) , luego primero habrá que averiguar qué coeficientes tenemos resultado del producto de la combinación de las 7 x 7 formas posibles en que puede darse \( \epsilon_1^{r_1}\,\epsilon_2^{r_2} \) (para \( r_1,r_2\in{\left\{{0,1,2,3,4,5,6}\right\}} \) ) . Esto lo hace
ingmarov en la
Respuesta #277, en el tercer Spoiler.
Y como sabemos que un entero ciclotómico de orden 7 será congruente con un entero (posiblemente \( a_0 \) ) cuando todos sus coeficientes -salvo \( a_0 \)- sean divisibles entre 7. Hacemos la comprobación.. Y vemos que en ningún caso se da salvo cuando \( r_1=r_2=0 \) y por tanto se tiene que todos los coeficientes: \( a_1\,.\,.\,a_5 \) (en forma reducida) son cero. Si multiplico ahora por \( \omega^m \) , para cualquier \( m\,:\,\,1\,.\,.\,6 \) , los coeficientes entonces, como dijimos, variarán de posición; pero como podemos comprobar también, seguirán sin ser todos divisibles entre 7 menos uno. Luego: \( r_1=r_2=q=0\,\,\,\wedge\,\,\,\omega^m\,\epsilon_1^{r_1}\,\epsilon_2^{r_2}=1^7 \) y por tanto
sólo :
\( \pmb{\alpha=\pm\,{(\epsilon_1^{c_1})^7\,(\epsilon_2^{c_2})^7}\equiv{k}\,(mód\,7)} \)
