Hago un nuevo intento:
Parto de que \( \omega^{\,j}\equiv{\omega^{\,i}}\equiv{-2}\,(mód\,\omega^{\,i}+2) \)
Luego puedo entender que: \( \omega^{\,i}-\omega^{\,j}\equiv{0}\,(mód\,\omega^{\,i}+2) \) \( \wedge \) \( \omega^{\,i}-\omega^{\,j}={\color{red}k}\cdot{(\omega^{\,i}+2)} \)
Si ahora saco factor común de la expresión a la izquierda de la igualdad, sin pérdida de generalidad, puede quedar así:
\( \omega^{\,i}\,(1-\omega^{\,j-i})=k\cdot{(\omega^{\,i}+2)} \) (He considerado que el exponente \( i \) era mayor que el \( j \))
Y tomando Normas: \( N(\omega^{\,i})\,N(1-\omega^{\,j-i})=N(k)\,N(\omega^{\,i}+2) \) \( \wedge \) \( 5\neq{}11\,k^4 \)
(Recordando la entrega sobre La Norma, sabemos que \( N(1-\omega^k)=5 \) para k = 1,2,3,4)
¿Puede ser?
Hay un pequeño fallo, pero que no invalida tu argumento. Fíjate en la k que te he puesto en rojo. Por la forma en que la introduces, no es necesariamente un entero, sino un entero ciclotómico (la definición de congruencia entre enteros ciclotómicos exige que la diferencia sea múltiplo del módulo, pero el factor que falta puede ser cualquier entero ciclotómico). Eso hace que no sea cierto que \( N(k)=k^4 \), pero igualmente llegas a la contradicción de que \( 11\mid 5 \).
Es correcto, y es un razonamiento muy fino.
Pero creo que deberías reflexionar sobre que la "filosofía" de las congruencias (en otras palabras, lo que uno debería pensar en primer lugar y sólo pasar a otra cosa si eso no funciona) es que para simplificar al máximo una expresión con congruencias en la que aparece algo "grande" o "raro" (sea \( \omega \) en este caso, o sean las potencias de 10 al estudiar un número en términos de sus cifras decimales, como en el ejemplo que te puse sobre las congruencias módulo 9) la idea básica es simplificar la cosa grande o rara y operar. En este caso, lo primero que uno "debería pensar", antes de ponerse a hilar fino, como tú has hecho, es deshacerse de \( \omega \) aprovechando que sabemos con qué entero es congruente.
No obstante, hay que decir que tu argumento tiene el mérito de que permite tratar todos los casos posibles para i, j de una sola vez. Lo que yo te estoy sugiriendo es más pedestre, porque requiere mirar cada caso por separado, pero creo que es importante insistir en que eso sería lo primero que uno debería pensar, y que buscar un argumento general como el que has buscado está bien si el propósito es ése, buscar la elegancia de un argumento general, pero indica que te falta asimilar una idea básica si lo has seguido porque no se te ocurría otra cosa.
Lo expreso de otra forma: si sabes que \( \omega \) es congruente con un entero conocido módulo un cierto primo (o no primo, da igual), lo primero que deberías tener en la cabeza es que en cualquier congruencia en la que aparece \( \omega \) puedes eliminarla y dejar sólo enteros, que a su vez en este caso pueden reducirse módulo 11.
Esto lo puse como añadido de una respuesta anterior que no has podido ver porque contestaste primero que yo la terminara de modificar y dice así:
Dándole una segunda vuelta al Problema 2 creo que el apartado c) es bastante simplificable. Pero especulando con esto llego a lo siguiente y me gustaría saber si tiene alguna lógica:
Para saber si \( \omega^3+2 \) es factor primo de \( \alpha=11\omega^3-\omega^2+5\omega+7 \) ; yo busco que: \( 11\omega^3-\omega^2+5\omega+7\equiv{0}\,(mód\,\omega^3+2) \)
Y yo sé que como \( \omega^3+2 \) divide a su Norma (11); entonces: \( 11\equiv{0}\,(mód\,\omega^3+2) \)
Hasta aquí todo es correcto.
De esta forma si escojo separadamente el coeficiente para \( \omega^0 \) de \( \alpha \) , tengo que: \( 7\equiv{11}\equiv{0}\,(mód\,\omega^3+2) \) \( \wedge \) \( 4\equiv{0}\,(mód\,\omega^3+2) \)
Este resultado (Que: \( \pmb{\omega^3+2\mid 4} \)) me sale también por otros caminos. ¿Es indicativo de que nos encontramos ante el factor primo que buscamos?
¿Tiene relación con que: \( \omega\equiv{\pmb{4}}\,(mód\,\omega^3+2) \) ?
Esto ya no lo entiendo. ¿Qué quieres decir con escoger separadamente un coeficiente? No es cierto que \( 7\equiv{11}\equiv{0}\,(mód\,\omega^3+2) \). Dos entero usuales son congruentes módulo un divisor ciclotómico de 11 si y sólo si son congruentes módulo 11. Tampoco es cierto que \( \pmb{\omega^3+2\mid 4} \) (es equivalente a lo anterior). Esto lo puedes comprobar con el programa de ingmarov. Si divides 4 entre \( \omega^3+2 \) te saldrá un número ciclotómico con coeficientes racionales, no entero.
En general (esto está probado en el hilo), cada primo ciclotómico tiene norma \( q^k \) y q es el único primo usual al cual divide. En este caso, \( \omega^3+2 \) sólo divide al primo entero 11, y por consiguiente sólo divide a los enteros que son múltiplos de 11.
