[Proyecto_dos]

Hola,

Bueno, estoy en una tableta y cuando tenía toda la respuesta hecha se me ha perdido. En fin resumo como puedo.

Feriva lo que pones me ayuda mucho y aunque no tenía pensado mirar estos temas al final pues he tenido que hacerlo.. jajaja

De lo que pones en el Spoiler creo que tienes una errata, no es: (0-2) es: (0+2). Otra manera de saber si  \( n^3+5n \)  es divisible por 3, conociendo que:  \( n^3\equiv{n}\,(mod\,3) \) sería:

Si  \( n^3+5n\equiv{0}\,(mod\,3) \)  \( \Rightarrow{} \)  \( n^3+6n\equiv{n}\,(mod\,3) \)  y es directo.

Del ejemplo primero que pone Carlos de las congruencias:  \( x^2-15y^2\neq{7} \) ,  que es muy potente; se puede deducir también que:  \( x^2\not\equiv{y^2}\,(mod\,7) \)


Carlos, qué ganas de llegar ya a la parte demostrativa! Muchas gracias! Preguntaré todo lo que no vea claro, por supuesto.


Un saludo a todos,


PD. Respecto de la "supergenialidad" creo que Carlos se ha quedado un poco corto. Efectivamente, puede que Carlos Ivorra sea un supergenio de la didáctica (caso 1); pero puede también que sea normalito y que lo que ocurra es que tenga a un par de alumnos supergenios (caso 2); pero aún puede suceder otra cosa -que es en la que yo creo-; el caso 3: Carlos es un supergenio de la didactica enseñando a 2 alumnos supergenios en un Foro de matemáticas genial    

[Carlos Ivorra]

Del ejemplo primero que pone Carlos de las congruencias:  \( x^2-15y^2\neq{7} \) ,  que es muy potente; se puede deducir también que:  \( x^2\not\equiv{y^2}\,(mod\,7) \)

No entiendo lo que quieres decir. Si \( x=\pm y \) es obvio que  \( x^2\equiv{y^2}\,(mod\,7) \), por ejemplo, \( 3^2\equiv 4^2(\mbox{mód}\,7) \).

Carlos, qué ganas de llegar ya a la parte demostrativa! Muchas gracias! Preguntaré todo lo que no vea claro, por supuesto.

Ya te queda poco.   

Aprovecho para explicar algo que tenía pendiente. Como decía, todos los usos que he hecho (en el hilo, no en el problema sobre congruencias) del pequeño teorema de Fermat se pueden sustituir por un resultado mucho más elemental:

Si \( p \) es primo y \( a \) es un entero no divisible entre \( p \), entonces existe otro entero \( b \) tal que \( ab\equiv 1(\mbox{mod}\,p) \)

La prueba de esto es muy sencilla: consideramos las potencias de \( a \): \( a, a^2, a^3, \ldots \) como son infinitas pero sólo hay \( p \) clases de congruencia módulo \( p \), tiene que haber al menos dos en la misma clase, es decir, \( a^m\equiv a^{m+n}(\mbox{mód}\,p) \), para ciertos naturales \( m,n \), con \( n>0 \). Esto significa que \( p\mid a^{m+n}-a^m=a^m(a^n-1) \) y, como \( p\nmid a \), pero al ser primo tiene que dividir a uno de los factores, tiene que ser \( p\mid a^n-1 \), es decir, \( a^n\equiv1(\mbox{mód}\,p) \).

El pequeño teorema de Fermat dice que podemos tomar concretamente \( n=p-1 \), pero no necesitamos este hecho. Ahora basta tomar \( b=a^{n-1} \), con lo que \( ab\equiv1(\mbox{mód}\,p) \).

Si te fijas en los usos que hago en el hilo del pequeño teorema de Fermat, simplemente multiplico congruencias por un \( a^{p-2} \) para despejar coeficientes no divisibles entre \( p \). Ese \( a^{p-2} \) se puede cambiar siempre por el \( b \) que acabo de probar que existe.

[feriva]

Feriva lo que pones me ayuda mucho y aunque no tenía pensado mirar estos temas al final pues he tenido que hacerlo.. jajaja

Pues me alegro un montón de que te haya sido útil

De lo que pones en el Spoiler creo que tienes una errata, no es: (0-2) es: (0+2).

Sí, gracias por la corrección; eso es habitual en mí, siempre tengo que meter la pata en lo que sea, es como mi tarjeta de visita Ahora edito.



Un cordial saludo.

[Proyecto_dos]

Hola feriva y Carlos. Tú equivocación feriva, no es nada jaja Mira la mía:

\( x^2-15y^2\neq{7} \)

\( x^2-y^2\not\equiv{0}\,(mod\,7) \)

Este paso supongo no es correcto

[Carlos Ivorra]

Hola feriva y Carlos. Tú equivocación feriva, no es nada jaja Mira la mía:

\( x^2-15y^2\neq{7} \)

\( x^2-y^2\not\equiv{0}\,(mod\,7) \)

Este paso supongo no es correcto

Es el clásico: de \( p\rightarrow q \) no puedes deducir que \( \lnot p\rightarrow \lnot q \). Una igualdad implica una congruencia, pero una desigualdad no implica la negación de la congruencia. Por ejemplo, \( 3\neq 8 \), pero de ahí no puedes deducir que \( 3\not\equiv 8(\mbox{mód}\,5) \).

[feriva]

Hola feriva y Carlos. Tú equivocación feriva, no es nada jaja Mira la mía:

\( x^2-15y^2\neq{7} \)

\( x^2-y^2\not\equiv{0}\,(mod\,7) \)

Este paso supongo no es correcto

Claro, es como si tienes esto

\( 14-4\neq5
  \)

sin embargo

\( 14\equiv4(mod5)
  \)

La equivalencia es como la igualdad en cuanto a la divisibilidad respecto de un número (el módulo) pero no necesariamente en cuanto a los valores de los números, 5 es distinto de 10, de 15... aunque todos sean “cincos”.

Con la notación que te decía noche, es cierto que \( 14-4=\dot{5}
  \), porque quiere decir “14-4 es igual, y se aquí se puede decir igual, a un múltiplo de 5”; pero claro, no tiene por qué ser necesariamente el 5 ese múltiplo.

[Proyecto_dos]

Ahh  claro

Lo que he hecho es como decir  \( x^2-15y^2\neq{7\cdot{k}} \) ,  por:  \( x^2-15y^2\neq{7} \) . 

Gracias, bueno lo tengo que dejar ya por hoy.

Sdos

[ingmarov]

...

Spoiler

A partir de tus cálculos, puedes ver, en efecto, que \( \epsilon_1^{r_1}\epsilon_2^{r_2} \) es congruente con un entero módulo 7 si y sólo si \( r_1=r_2=0 \), pero en tus cálculos no están todos los números de la forma \( \omega^m\epsilon_1^{r_1}\epsilon_2^{r_2} \) (ni falta que hace). Para argumentar que al multiplicar por \( \omega^m \) no van a aparecer números congruentes con un entero módulo 7. En realidad esto es trivial: al multiplicar por \( \omega^m \) simplemente permutamos los coeficientes del entero ciclotómico, luego si antes no eran todos congruentes entre sí módulo 7, los de  \( \omega^m\epsilon_1^{r_1}\epsilon_2^{r_2} \) tampoco lo serán, porque son los mismos en otro orden.

[cerrar]

No tuve tiempo ayer de revisar detenidamente tu corrección, pero estuve pensando sobre qué habría hecho mal?. Y claro me olvidé de \( \omega^m \), por lo que debo cambiar la última parte de mi solución.

...

Y yo espero que nuestros descendientes me estarán agradecidos no sólo por las cosas que aquí he explicado, sino también por aquellas que he omitido voluntariamente a fin de dejarles el placer de descubirlas.

Descartes (La geometría)

...

Me cae bien Descartes, y ahora más después de leer esta cita.

[feriva]

Ahh  claro

Lo que he hecho es como decir  \( x^2-15y^2\neq{7\cdot{k}} \) ,  por:  \( x^2-15y^2\neq{7} \) . 

Gracias, bueno lo tengo que dejar ya por hoy.

Sdos

Eso es; en general no se cierto, pero puede serlo a veces, porque puede ser que k=1.

O en el ejemplo que te ponía: tanto a 4 como a 14 les falta una unidad para llegar a un múltiplo de 5, son iguales en cuanto al tipo de divisibilidad respecto de 5, pero si sumas 1, el 4 llega a 5 (primer múltiplo de 5, k5 con k=1) y el 14 llega a 15 (tercer múltiplo de 5, k5 con k=3). En cuanto al tipo de divisibilidad 4=14, 5=15, pero en cuanto al valor o “tamaño” 4<14 y 5<15.

Cuando tocas un piano (a lo mejor estás familiarizado con un teclado) tienes ocho teclas distintas para el “do”. Es la “misma” nota pero las teclas no son las mismas; y según estén más a la izquierda o más a la derecha suenan más graves o más agudas.

Justo a la derecha del do (o los “dos”) está la tecla del “re” (o los “res”). Si pensamos en el tono de “do”, sumando un tono a un “do” llegas al segundo grado, a un re. Pero el intervalo, la distancia entre el “do” y el “re” no siempre es de 1 tono, pueden ser varias, porque puedes dar un “do” en una octava y un re en la otra octava de más arriba, con lo cual tienes una novena, 8+1; o si das el “re” dos octavas más arriba tienes 8+8+1=16+1 (la música tonal es módulo 8, se puede decir).

Armónicamente es lo mismo, es el “mismo” conjunto de notas, pero molodicamente no es lo mismo, porque hay un salto enorme, de grave a agudo, que ningún cantante o casi ningún cantante podría dar en el tercer caso, por ejemplo.

Así que cuando oyes a la gente hablar de música y dice en singular “el do” o “el re”, está hablando modularmente, sin especificar a qué “múltiplo” del “do” o la nota que sea se refiere.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

No tuve tiempo ayer de revisar detenidamente tu corrección, pero estuve pensando sobre qué habría hecho mal?. Y claro me olvidé de \( \omega^m \), por lo que debo cambiar la última parte de mi solución.

Bueno, pero es un cambio muy simple que apenas trastoca nada. Como te decía, consiste simplemente en observar que multiplicar por \( \omega^m \) permuta los coeficientes, y la condición de ser múltiplo de 7 no depende del orden de los coeficientes.