Cómo que disculpe, todo lo contrario, muchas gracias, si me encanta hablar de estas cosas
Lo que pasaba es con ese ejemplo no podía ilustrrate bien a qué me refería con lo de usar álgebra de batalla; pero lo he hecho con uno de los ejercicios que te ha dado Carlos, aquí sí se ve bien a qué quiero referirme
Spoiler
\( x^2-15 y^2=7 \)
De todas las manipulaciones algebraicas hay una que me gusta usar más que las demás (no sé exactamente por qué) sacar factor común; con las matrices me pasaba igual siempre, y en ese caso, especialmente, cuando entraba en juego la identidad (tampoco sé por qué).
Incluso cuando no hay ningún factor común, a veces, me las ingenio para que aparezca; por ejemplo, tomando la misma igualdad de Carlos (la primera) que no lo hay (o no se ve a primera vista) puedo hacer
\( x^{2}-15y^{2}=7 \)
\( x^{2}-(3+12)y^{2}=3+3+1
\)
\( x^{2}-3y^{2}-12y^{2}=3+3+1
\)
\( x^{2}-3y^{2}-3\cdot4\cdot y^{2}=3+3+1
\)
\( x^{2}-3y^{2}-3\cdot4\cdot y^{2}-3-3=-3-3+3+3+1
\)
\( x^{2}+3(-y^{2}-4\cdot y^{2}-1-1)=0+0+1
\)
(si no me he equivocado en algo)
Eso es pura álgebra de batalla como verás: se busca mantener la igualdad “haciendo ceros”, sumando o restando o multiplicando, o lo que sea, la misma cantidad a un lado y otro para simplificar. Después se saca factor común; y todo ese sumando grande es un múltiplo de 3 que muchas veces interesa escribirlo simplemente como “3k” porque no queremos más que comprobar cuestiones de divisibilidad.
Fíjate también en que, operando lo más literalmente posible la igualdad, sin resumir nada, poniendo los ceros donde había otra cosa, éstos han quedado equivalentemente (porque las ecuaciones son equivalentes, son las “mismas”) donde antes había dos treses; entonces, ¿0=3? Igual, lo que se dice igual, no, pero equivalente sí.
No se han usado símbolos de equivalencia, pero la equivalencia está ahí.
Hemos llegado, resumiendo, a esta ecuación
\( x^{2}+3k=1 \)
que también es ésta
\( x^{2}-1=-3k
\)
o a ésta, si “k” toma valor negativo
\( x^{2}-1=3k \)
Hasta aquí hemos llega usando el álgebra que conocemos tú y yo; y ¿qué es eso de arriba, qué quiere decir? Pues esto mismo
\( x^{2}\equiv1(mod\,3) \)
Que significa que si \( x^{2} \) fuera un entero y lo dividiéramos entre 3 nos daría resto 1; si no, no sería un entero.
Lo que sigue, aunque sea más aritmética, también tiene que ver con el álgebra un poco.
Cuando dividimos un número entre otro, lo hacemos trozos iguales, trozos que tienen la “medida” del divisor; y el resultado de la división nos dice cuántos trozos de ésos tenemos y cuanto nos sobra; el trozo que nos sobre será siempre menor que el divisor, lo cual es trivial.
Así pues, si dividimos equis entre 3 nos puede sobrar un trozo que mida cero (división exacta) o que mida 1 o que mida 2.
Y si dividimos equis cuadrado entre 3 también, los mismos restos, pero el “orden” de los restos cambia y no tienen por qué salir todos; por ejemplo:
\( \dfrac{5}{3} \) aquí el resto es 2.
\( \dfrac{25}{3} \) aquí el resto es 1.
Si elevamos al cuadrado el resto que nos daba al dividir 5 entre 3, tenemos
\( 2^{2}=4=3+1 \); o sea, se corresponde con 1 módulo 3.
Analizamos los restos posibles de 0,1,2 al cuadrado
\( 0^{2}=0
\)
\( 1^{2}=1
\)
\( 2^{2}=4=3+1=1
\)
El resto 2 no aparece entre los posibles; sin embargo, habíamos visto que \( x^{2}\equiv1(mod\,3) \) y nada parece oponerse a la divisibilidad hasta aquí...
Sin embargo, podemos hacer otra asociación similar y sacar otro factor común distinto al de antes:
\( x^{2}-15y^{2}=7 \)
\( x^{2}-(5+5+5)y^{2}=5+2 \)
...
de donde operando algebraicamente igual que anteriormente llegamos a
\( x^{2}\equiv2(mod\,5)
\)
que es el módulo (uno de los primos posibles del compuesto 15) que ha elegido Carlos.
Las raíces de los restos (0,1,2,3,4) al cuadrado, en este caso son:
\( 0^{2}=0
\)
\( 1^{2}=1
\)
\( 2^{2}=4
\)
\( 3^{2}=9=5+4=4
\)
\( 4^{2}=16=(5+5+5)+1=1
\)
Tampoco para este módulo aparece el resto 2; y en este caso la congruencia \( x^{2}\equiv2(mod\,5) \) es igualmente obligada, como antes (son obligadas las dos para que sea divisible, porque el número es múltiplo de los dos, de 3 y de 5) pero en esta ocasión no se cumple; luego no existe ese entero “x”.
*[Esto lo he hecho sobre la marcha, de hecho ha sido una experiencia nueva para mí, como muchas veces, porque ya te digo que sigo las cosas sobre la pantalla y no escribiendo las fórmulas y eso. Y a lo mejor viene Carlos y me dice que me he equivocado en algo o que interpretado mal algo; es muy posible, pero si pasa eso no importa, porque lo que quería que vieras es que con el álgebra que sabes puedes ayudarte perfectamente para analizar y entender las congruencias]
Saludos.
