Respecto de lo de las Congruencias pues qué decir, que soy un recién converso, igual que de los números complejos. Yo era como decía Carlos uno de los que les tenía asco y ahora te das cuenta que no es más que aritmética químicamente pura. No estudiarlas es como no estudiar que en los números naturales Par + Impar da Impar.
Eso plantea un pequeño problema. Por una parte, es obvio que la forma más razonable de familiarizarse con las congruencias no es estudiar las congruencias de enteros ciclotómicos, sino que lo lógico sería estudiar éstas después de estar familiarizado con las congruencias de enteros usuales.
Por otra parte, hasta ahora he estado escribiendo suponiendo a los lectores familiarizados con las propiedades básicas de las congruencias de números enteros. Por ejemplo, hice un uso fuerte de ello en la respuesta #6 del hilo principal, al probar que \( \omega \) no es raíz de ningún polinomio de grado menor que \( p-1 \), y en la respuesta #11 uso varias veces el pequeño teorema de Fermat.
En realidad usé ese teorema porque pensé que sería un resultado conocido y así era más fácil citarlo, pero lo cierto es que todos los usos del pequeño teorema de Fermat en esa entrega pueden reemplazarse por un resultado mucho más elemental, que se demuestra en dos líneas.
En fin, no dudes en plantear cualquier dificultad que surja en relación con las congruencias (o cualquier otra cosa, claro) y discutiremos aquí todo lo que sea necesario para que no tengas que familiarizarte con ellas de una forma tan poco ortodoxa como es yendo directamente a los enteros ciclotómicos sin pasar por los enteros usuales.
Te pongo algunas muestras de usos elementales de las congruencias, para que te hagas una idea de qué se puede hacer con ellas:
Problema ¿Tiene soluciones enteras la ecuación \( x^2-15 y^2=7 \)?Solución: No, porque si \( x,y \) fueran enteros que cumplieran esa ecuación, tomando congruencias módulo \( 5 \) tendríamos que \( x^2-0 y^2\equiv 2(\mbox{mód}\,5) \), es decir, \( x^2\equiv 2(\mbox{mód}\,5) \), pero \( x\equiv 0,1,2,3,4(\mbox{mód}\,5) \), luego, según el caso, \( x^2\equiv 0,1,4,4,1(\mbox{mód}\,5) \), y vemos que, sea cual sea el resto de \( x \) módulo 5, su cuadrado nunca será congruente con \( 2 \) módulo \( 5 \).
Solución alternativa de los problemas planteados aquí:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=90015.0a) \( 3^n-1\equiv 1^n-1\equiv 0(\mbox{mód}\,2) \), lo que significa que \( 3^n-1 \) es divisible entre 2.
b) El pequeño teorema de Fermat afirma que \( n^3\equiv n(\mbox{mód}\,3) \), luego \( n^3+5n\equiv n+2n=3n\equiv 0(\mbox{mód}\,3) \), luego \( 3\mid n^3+5n \).
Por el mismo teorema \( n^2\equiv n(\mbox{mód}\,2) \), luego \( n^3+5n=n\cdot n^2+n\equiv n\cdot n+n=n^2+n\equiv n+n=2n\equiv 0(\mbox{mód}\,2) \), luego \( 2\mid n^3+5n \), luego \( 6\mid n^3+5n \).
Otra prueba por un método alternativo. Hacemos una tabla:
\( \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r|}
n(\mbox{mód}\,6)&-2&-1&0&1&2&3\\
\hline
n^3(\mbox{mód}\,6)&-8=-2&-1&0&1&8=2&27=3\\
5n\equiv -n(\mbox{mód}\,6)&2&1&0&-1&-2&-3\\
n^3+5n(\mbox{mód}\,6)&0&0&0&0&0&0
\end{array} \)
luego en todos los casos posibles la expresión es divisible entre 6.
c) \( 3^{2n}-1=9^n-1\equiv 1^n-1=0(\mbox{mód}\,8) \), luego \( 8\mid 3^{2n}-1 \).
d) Por el pequeño teorema de Fermat \( n^5\equiv n(\mbox{mód}\,n) \), luego \( n^5-n\equiv 0(\mbox{mód}\,n) \), luego \( 5\mid n^5-n \).
e) Por el pequeño teorema de Fermat \( n^3\equiv n(\mbox{mód}\,3) \), luego \( n^3-n+1\equiv n-n+1=1(\mbox{mód}\,3) \), luego \( 3\nmid n^3-n+1 \) (la congruencia tendría que haber dado 0 para que la expresión fuera múltiplo de 3).
